10. 广州白云区模拟 新考法·特征数表示法 如图，它是2025年9月的月历表，用虚线方框按如图所示的方式任意圈出四个数，请解答下列问题.
(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数.
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由.

10.【解】(1)设最小数为x,则最大数为x+8,
由题意得(x+8)x=180,整理得x²+8x-180=0,
解得x₁=-18(不符合题意,舍去),x₂=10,
∴最小数为10.
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124.理由如下：
设最小数为y,则另外三个数分别是 y+1,y+7,y+8,
由题意得 y(y+8)+y+(y+1)+(y+7)+(y+8)=124,
整理得 y²+12y-108=0,
解得 y₁=-18(不符合题意,舍去),y₂=6.
∵y=6在最后一列，
∴虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为 124.

11. 新考法 阅读类比法 阅读材料:两百多年前,数学家高斯用他独特的方法快速计算出$1+2+3+\dots+100$的值.我们从这个算法中受到启发,用下面的方法计算数列$1,2,3,\dots,n$的前$n$项和:
由 可知$1+2+3+\dots+n=\frac{(n+1)n}{2}$.
应用以上材料,解决下列问题:
(1)有一个三角点阵(如图),从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,$\dots$,第$n$行有$n$个点.若该三角点阵前$n$行的点数和为325,求$n$的值.
(2)在第(1)问的三角点阵中,前$n$行的点数和能是900吗?如果能,求出$n$;如果不能,说明理由.
(3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为$3,6,9,\dots,3n$,前$n$行的点数和能是900吗?如果能,求出$n$;如果不能,说明理由.

11.【解】(1)根据题意,得$1+2+3+\dots+n=\frac{(n+1)n}{2}=325$,
即$n^2+n-650=0$,
解得$n_1=25,n_2=-26$(不合题意,舍去).
∴$n$的值为 25.
(2)不能.理由如下：
由$1+2+3+\dots+n=\frac{(n+1)n}{2}=900$,
得$n^2+n-1\ 800=0$.
∵$b^2-4ac=1-4×(-1\ 800)=7\ 201＞0$,
∴$n=\frac{-1\pm\sqrt{7\ 201}}{2}$.
又
∵$n$为正整数,
∴不存在$n$值,使前$n$行的点数和是 900.
∴在第(1)问的三角点阵中,前$n$行的点数和不能是 900.
(3)能.
由$3+6+9+\dots+3n=900$,得$3(1+2+3+\dots+n)=900$,
∴$1+2+3+\dots+n=\frac{(n+1)n}{2}=300$,
∴$n^2+n-600=0$,
解得$n_1=24,n_2=-25$(不合题意,舍去).
∴当$n=24$时,前$n$行的点数和是 900.