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13[2025 岳阳期末]下列各式计算正确的是(
①$(3a^{2})^{3}=27a^{6}$；②$(-5a^{5}b^{5})^{2}=-25a^{25}b^{25}$；
③$(2x^{2}y^{3})^{4}=16x^{8}y^{12}$；④$(-\frac{2}{3}ab^{2})^{3}=-\frac{8}{3}ab^{6}$。
A.①②
B.①③
C.①②③
D.②③④
B
)①$(3a^{2})^{3}=27a^{6}$；②$(-5a^{5}b^{5})^{2}=-25a^{25}b^{25}$；
③$(2x^{2}y^{3})^{4}=16x^{8}y^{12}$；④$(-\frac{2}{3}ab^{2})^{3}=-\frac{8}{3}ab^{6}$。
A.①②
B.①③
C.①②③
D.②③④
答案
13 B $(3a^{2})^{3}=27a^{6},(-5a^{5}b^{5})^{2}=25a^{10}b^{10},(2x^{2}y^{3})^{4}=16x^{8}y^{12},(-\frac {2}{3}ab^{2})^{3}=-\frac {8}{27}a^{3}b^{6}$，故①③计算正确。
14[2025 湛江二模]若$3^{2a}=2^{b}$，$6^{b}=81$，则$2a + b =$(
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$-8$
A
)A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$-8$
答案
14 A 因为$3^{2a}=2^{b}$，所以$3^{2a}· 3^{b}=2^{b}· 3^{b}$，即$3^{2a+b}=(2×3)^{b}$，所以$3^{2a+b}=6^{b}$，又因为$6^{b}=81$，所以$3^{2a+b}=6^{b}=81=3^{4}$，所以$2a+b=4$。
15[2024 日照曲阜师大附属实验学校月考]若$25^{m}×2×10^{n}=5^{7}×2^{4}$，则$mn=$
6
。答案
15 6 $25^{m}×2×10^{n}=(5^{2})^{m}×2×(2×5)^{n}=5^{2m}×2×2^{n}×5^{n}=5^{2m+n}×2^{n+1}$，因为$25^{m}×2×10^{n}=5^{7}×2^{4}$，所以$5^{2m+n}×2^{n+1}=5^{7}×2^{4}$，所以$2m+n=7,n+1=4$，解得$n=3,m=2$，所以$mn=6$。
16[2025 无锡月考]若$x^{2n}=2$，求$(-3x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}$的值。
答案
16 解：当$x^{2n}=2$时，$(-3x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}=9x^{6n}-4x^{4n}=9(x^{2n})^{3}-4(x^{2n})^{2}=9×2^{3}-4×2^{2}=9×8-4×4=72-16=56$。
17[教材 P11T21 变式][2024 南昌青山湖区月考]计算：$(-0.125)^{15}×(2^{15})^{3}+(\frac{5}{13})^{2024}×(-2\frac{3}{5})^{2025}$。
答案
17 解：$(-0.125)^{15}×(2^{15})^{3}+(\frac {5}{13})^{2024}×(-2\frac {3}{5})^{2025}$
$=-(\frac {1}{8})^{15}×(2^{3})^{15}-(\frac {5}{13})^{2024}×(\frac {13}{5})^{2025}$
$=-(\frac {1}{8})^{15}×8^{15}-(\frac {5}{13})^{2024}×(\frac {13}{5})^{2024}×\frac {13}{5}$
$=-(\frac {1}{8}×8)^{15}-(\frac {5}{13}×\frac {13}{5})^{2024}×\frac {13}{5}$
$=-1-\frac {13}{5}$
$=-\frac {18}{5}$。
$=-(\frac {1}{8})^{15}×(2^{3})^{15}-(\frac {5}{13})^{2024}×(\frac {13}{5})^{2025}$
$=-(\frac {1}{8})^{15}×8^{15}-(\frac {5}{13})^{2024}×(\frac {13}{5})^{2024}×\frac {13}{5}$
$=-(\frac {1}{8}×8)^{15}-(\frac {5}{13}×\frac {13}{5})^{2024}×\frac {13}{5}$
$=-1-\frac {13}{5}$
$=-\frac {18}{5}$。
18[新趋势·代数推理]若$2^{a}=5^{b}=10$，猜想$a + b$与$ab$的大小关系，并说明理由。
答案
18 解：$a+b=ab$。理由如下：
由$2^{a}=10$，可得$2^{ab}=10^{b}$，①
由$5^{b}=10$，可得$5^{ab}=10^{a}$，②
①×②，得$2^{ab}×5^{ab}=10^{a}×10^{b}$，
即$(2×5)^{ab}=10^{ab}=10^{a+b}$，故$a+b=ab$。
由$2^{a}=10$，可得$2^{ab}=10^{b}$，①
由$5^{b}=10$，可得$5^{ab}=10^{a}$，②
①×②，得$2^{ab}×5^{ab}=10^{a}×10^{b}$，
即$(2×5)^{ab}=10^{ab}=10^{a+b}$，故$a+b=ab$。
19[2024 连云港期中改编]幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如$(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$，则$a^{m}b^{m}=(ab)^{m}$($a$，$b$为非负数，$m$为正整数)。请运用所学知识解答下列问题：
(1)已知$2^{x + 3}×3^{x + 3}=36^{x - 2}$，求$x$的值；
(2)已知$3×2^{x + 1}×4^{x + 1}=192$，求$x$的值；
(3)计算：$2^{100}×8^{101}×(\frac{1}{4})^{200}$。
(1)已知$2^{x + 3}×3^{x + 3}=36^{x - 2}$，求$x$的值；
(2)已知$3×2^{x + 1}×4^{x + 1}=192$，求$x$的值；
(3)计算：$2^{100}×8^{101}×(\frac{1}{4})^{200}$。
答案
19 解：(1)因为$2^{x+3}×3^{x+3}=36^{x-2}$，
所以$(2×3)^{x+3}=6^{2(x-2)}$，所以$6^{x+3}=6^{2x-4}$，
所以$x+3=2x-4$，解得$x=7$。
(2)因为$3×2^{x+1}×4^{x+1}=192$，
所以$3×(2×4)^{x+1}=192$，所以$3×8^{x+1}=192$，
所以$8^{x+1}=64$，所以$8^{x+1}=8^{2}$，
所以$x+1=2$，解得$x=1$。
(3)$2^{100}×8^{101}×(\frac {1}{4})^{200}$
$=2^{100}×(2^{3})^{101}×[(\frac {1}{2})^{2}]^{200}$
$=2^{100}×2^{303}×(\frac {1}{2})^{400}$
$=2^{403}×(\frac {1}{2})^{400}$
$=2^{3}×2^{400}×(\frac {1}{2})^{400}$
$=2^{3}×(2×\frac {1}{2})^{400}$
$=8×1^{400}$
$=8$。
所以$(2×3)^{x+3}=6^{2(x-2)}$，所以$6^{x+3}=6^{2x-4}$，
所以$x+3=2x-4$，解得$x=7$。
(2)因为$3×2^{x+1}×4^{x+1}=192$，
所以$3×(2×4)^{x+1}=192$，所以$3×8^{x+1}=192$，
所以$8^{x+1}=64$，所以$8^{x+1}=8^{2}$，
所以$x+1=2$，解得$x=1$。
(3)$2^{100}×8^{101}×(\frac {1}{4})^{200}$
$=2^{100}×(2^{3})^{101}×[(\frac {1}{2})^{2}]^{200}$
$=2^{100}×2^{303}×(\frac {1}{2})^{400}$
$=2^{403}×(\frac {1}{2})^{400}$
$=2^{3}×2^{400}×(\frac {1}{2})^{400}$
$=2^{3}×(2×\frac {1}{2})^{400}$
$=8×1^{400}$
$=8$。
