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1[2024 广州南沙区期末]如图，直线 AB，CD 相交于点 O，给出下列条件：①∠AOD = 90°；②∠AOC = ∠BOC；③∠AOC = ∠BOD；④∠AOC + ∠BOD = 180°。其中能说明 AB ⊥ CD 的有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
1 C ①由$∠AOD=90^{\circ }$，可以得出$AB⊥CD$；②因为$∠AOC+∠BOC=180^{\circ }$，$∠AOC=∠BOC$，所以$∠AOC=∠BOC=90^{\circ }$，可以得出$AB⊥CD$；④因为$∠AOC+∠BOD=180^{\circ }$，$∠AOC=∠BOD$（对顶角相等），所以$∠AOC=∠BOD=90^{\circ }$，可以得出$AB⊥CD$。综上，①②④能说明$AB⊥CD$。
2[一题多解][2024 北京中考]如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，OE ⊥ OC。若∠AOC = 58°，则∠EOB 的大小为(
A.29°
B.32°
C.45°
D.58°
B
)A.29°
B.32°
C.45°
D.58°
答案
2 B 通解 因为$OE⊥OC$，所以$∠DOE=90^{\circ }$。因为$∠BOD=∠AOC=58^{\circ }$，所以$∠EOB=90^{\circ }-58^{\circ }=32^{\circ }$。
另解 因为$OE⊥OC$，所以$∠COE=90^{\circ }$。因为$∠AOC=58^{\circ }$，所以$∠EOB=180^{\circ }-58^{\circ }-90^{\circ }=32^{\circ }$。
另解 因为$OE⊥OC$，所以$∠COE=90^{\circ }$。因为$∠AOC=58^{\circ }$，所以$∠EOB=180^{\circ }-58^{\circ }-90^{\circ }=32^{\circ }$。
[变式][2025 张家口期末]如图，点 O 在直线 AB 上，OC ⊥ OD，若∠BOD = 25°，则∠AOC 的大小为
115
°。答案
变式 115 因为$OC⊥OD$，所以$∠COD=90^{\circ }$，又因为$∠BOD=25^{\circ }$，所以$∠COB=∠COD-∠BOD=65^{\circ }$，所以$∠AOC=180^{\circ }-∠COB=115^{\circ }$。
3 如图，O 为直线 AB 上一点，OD，OE 分别是∠BOC 和∠AOC 的平分线，则 OE 和 OD 的位置关系是
$OE⊥OD$
。答案
3 $OE⊥OD$ 因为$O$为直线$AB$上一点，所以$∠AOC+∠BOC=180^{\circ }$。因为$OD$，$OE$分别是$∠BOC$和$∠AOC$的平分线，所以$∠DOC=\frac {1}{2}∠BOC$，$∠EOC=\frac {1}{2}∠AOC$，所以$∠EOD=∠DOC+∠EOC=\frac {1}{2}(∠BOC+∠AOC)=90^{\circ }$，所以$OE⊥OD$。
（结论：邻补角的平分线互相垂直）
（结论：邻补角的平分线互相垂直）
4[2025 宿迁宿豫区期末]下列选项中，过点 A 画 BC 的垂线，三角尺摆放正确的是(
D
)答案
4 D
归纳总结
经过一点画已知直线的垂线的步骤
（1）落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合。（2）移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点。（3）画：沿经过已知点的直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
归纳总结
经过一点画已知直线的垂线的步骤
（1）落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合。（2）移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点。（3）画：沿经过已知点的直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
5[2025 郑州四中期中]如图，如果 AB ⊥ l，BC ⊥ l，B 为垂足，那么 A，B，C 三点在同一直线上，其理由是
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
。答案
5 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6[2025 佛山灯湖中学月考]如图，某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处。他们的做法是过点 C 作 CD ⊥ l 于点 D，将水泵房建在了 D 处。这样做最节省水管长度，其数学道理是
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
。答案
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7[教材 P39 随堂练习 T3 变式][2025 郑州金水区月考]如图，小红在进行立定跳远训练时，从点 A 起跳，落脚点为点 B。若从起跳点到落脚点之间的距离是 2 m，则小红这次跳远的成绩可能是(
A.2.2 m
B.2.1 m
C.2 m
D.1.9 m
D
)A.2.2 m
B.2.1 m
C.2 m
D.1.9 m
答案
7 D
8[2024 北京西城区期中]作图并回答：
(1)如图，点 P 在∠AOB 的边 OA 上。
①过点 P 作 OA 的垂线交 OB 于点 C；
②作点 P 到 OB 的垂线段 PM。
(2)上述作图中，线段
(1)如图，点 P 在∠AOB 的边 OA 上。
①过点 P 作 OA 的垂线交 OB 于点 C；
②作点 P 到 OB 的垂线段 PM。
(2)上述作图中，线段
PM
的长度表示点 P 到 OB 的距离；线段PC
的长度表示点 C 到 OA 的距离。答案
8 解：（1）①如图，$PC$即为所求。
②如图，$PM$即为所求。
（2）$PM$ $PC$
因为$PM⊥OB$，所以线段$PM$的长度表示点$P$到$OB$的距离。因为$PC⊥OA$，所以线段$PC$的长度表示点$C$到$OA$的距离。
