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9[2024 渭南月考]如图，已知 OC 是∠BOD 的平分线，OD ⊥ OA，∠BOC = 32°，则∠AOC 的度数为(
A.58°
B.64°
C.26°
D.68°
A
)A.58°
B.64°
C.26°
D.68°
答案
9 A 因为$OC$是$∠BOD$的平分线，$∠BOC=32^{\circ }$，所以$∠DOC=∠BOC=32^{\circ }$。因为$OD⊥OA$，所以$∠AOD=90^{\circ }$，所以$∠AOC=∠AOD-∠DOC=58^{\circ }$。
10[教材 P40T7 变式][2025 泸州江阳区月考]如图，河道 l 的一侧有 A，B 两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向 A，B 两村，下列四种方案中最节省材料的是(
B
)答案
10 B 根据“垂线段最短”和“两点之间线段最短”，得最节省材料的是$B$项中的方案。
11[2025 张家口宣化区期末]如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OF ⊥ CD，OF 平分∠AOE，若∠BOD = 30°，则∠BOE 的度数为(
A.60°
B.62°
C.64°
D.66°
A
)A.60°
B.62°
C.64°
D.66°
答案
11 A 因为$OF⊥CD$，所以$∠DOF=90^{\circ }$，又因为$∠BOD=30^{\circ }$，所以$∠AOF=180^{\circ }-∠DOF-∠BOD=60^{\circ }$。因为$OF$平分$∠AOE$，所以$∠AOE=2∠AOF=120^{\circ }$，所以$∠BOE=180^{\circ }-∠AOE=60^{\circ }$。
12[2024 福州期中]如图，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，垂足为 D，则点 C 到直线 AB 的距离是(
A.线段 AC 的长度
B.线段 CB 的长度
C.线段 CD 的长度
D.线段 AD 的长度
C
)A.线段 AC 的长度
B.线段 CB 的长度
C.线段 CD 的长度
D.线段 AD 的长度
答案
12 C
13[2025 榆林期末]如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，OE ⊥ CD，OF 将∠BOD 分成 2:3 的两个角。若∠DOF = 30°，则下列选项中正确的是(
A.∠AOE = 10°
B.∠AOC = 80°
C.∠BOC = 105°
D.∠BOF = 50°
C
)A.∠AOE = 10°
B.∠AOC = 80°
C.∠BOC = 105°
D.∠BOF = 50°
答案
13 C 由题意，得$∠BOF=\frac {3}{2}∠DOF$，因为$∠DOF=30^{\circ }$，所以$∠BOF=45^{\circ }$，故$D$项错误；因为$OE⊥CD$，所以$∠DOE=90^{\circ }$，所以$∠AOE=180^{\circ }-∠DOE-∠DOF-∠BOF=15^{\circ }$，故$A$项错误；$∠AOC=180^{\circ }-∠DOE-∠AOE=75^{\circ }$，故$B$项错误；$∠BOC=180^{\circ }-∠AOC=105^{\circ }$，故$C$项正确。
[变式][一题多解][2025 武汉外国语学校月考]如图，已知直线 AB 和 CD 相交于点 O，OE ⊥ AB 于点 O，OF ⊥ CD 于点 O，且∠BOF = 25°，则∠AOC 与∠EOD 的度数分别为
115°，25°
。答案
变式 115°，25° 通解 因为$OF⊥CD$，所以$∠DOF=90^{\circ }$，又因为$∠BOF=25^{\circ }$，所以$∠BOD=∠DOF+∠BOF=90^{\circ }+25^{\circ }=115^{\circ }$，所以$∠AOC=∠BOD=115^{\circ }$。因为$OE⊥AB$，所以$∠BOE=90^{\circ }$，所以$∠EOD=∠BOD-∠BOE=115^{\circ }-90^{\circ }=25^{\circ }$。
另解 因为$OF⊥CD$，所以$∠COF=90^{\circ }$，又因为$∠BOF=25^{\circ }$，所以$∠BOC=90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$，所以$∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=115^{\circ }$。因为$OE⊥AB$，$OF⊥CD$，所以$∠BOE=∠BOF+∠EOF=90^{\circ }$，$∠DOF=∠EOD+∠EOF=90^{\circ }$，所以$∠EOD=∠BOF=25^{\circ }$。
另解 因为$OF⊥CD$，所以$∠COF=90^{\circ }$，又因为$∠BOF=25^{\circ }$，所以$∠BOC=90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }$，所以$∠AOC=180^{\circ }-∠BOC=115^{\circ }$。因为$OE⊥AB$，$OF⊥CD$，所以$∠BOE=∠BOF+∠EOF=90^{\circ }$，$∠DOF=∠EOD+∠EOF=90^{\circ }$，所以$∠EOD=∠BOF=25^{\circ }$。
14 [2025 黔东南州月考]如图，直线 AB，CD 交于点 O，CO ⊥ OE，OF 是∠AOD 的平分线，OG 是∠BOE 的平分线，∠AOC = 44°。
(1)求∠BOE 的度数；
(2)求∠FOG 的度数。
(1)求∠BOE 的度数；
(2)求∠FOG 的度数。
答案
14 解：（1）因为$CO⊥OE$，所以$∠COE=90^{\circ }$，
又因为$∠AOC=44^{\circ }$，
所以$∠BOE=180^{\circ }-∠AOC-∠COE=46^{\circ }$。
（2）由（1）得$∠BOE=46^{\circ }$，
因为$OG$是$∠BOE$的平分线，
所以$∠BOG=\frac {1}{2}∠BOE=23^{\circ }$。
因为$∠AOC=44^{\circ }$，所以$∠AOD=180^{\circ }-∠AOC=136^{\circ }$，
又因为$OF$是$∠AOD$的平分线，
所以$∠AOF=\frac {1}{2}∠AOD=68^{\circ }$，
所以$∠BOF=180^{\circ }-∠AOF=112^{\circ }$，
所以$∠FOG=∠BOF+∠BOG=112^{\circ }+23^{\circ }=135^{\circ }$。
又因为$∠AOC=44^{\circ }$，
所以$∠BOE=180^{\circ }-∠AOC-∠COE=46^{\circ }$。
（2）由（1）得$∠BOE=46^{\circ }$，
因为$OG$是$∠BOE$的平分线，
所以$∠BOG=\frac {1}{2}∠BOE=23^{\circ }$。
因为$∠AOC=44^{\circ }$，所以$∠AOD=180^{\circ }-∠AOC=136^{\circ }$，
又因为$OF$是$∠AOD$的平分线，
所以$∠AOF=\frac {1}{2}∠AOD=68^{\circ }$，
所以$∠BOF=180^{\circ }-∠AOF=112^{\circ }$，
所以$∠FOG=∠BOF+∠BOG=112^{\circ }+23^{\circ }=135^{\circ }$。
15[应用意识][2025 沈阳四十三中月考]直线 AB，CD，EF 相交于点 O，且 CD ⊥ EF，OG 平分∠BOF。
(1)如图 1，
①∠AOD 的余角有
②若∠AOD:∠COG = 2:3，求∠AOD 的度数。
(2)如图 2，探究∠AOD 与∠COG 之间是否存在数量关系，若存在，请直接写出∠AOD 与∠COG 之间的数量关系；若不存在，请说明理由。
(1)如图 1，
①∠AOD 的余角有
∠AOE，∠BOF
。(填写所有符合情况的角)②若∠AOD:∠COG = 2:3，求∠AOD 的度数。
(2)如图 2，探究∠AOD 与∠COG 之间是否存在数量关系，若存在，请直接写出∠AOD 与∠COG 之间的数量关系；若不存在，请说明理由。
答案
15 解：（1）①$∠AOE$，$∠BOF$
因为$CD⊥EF$，所以$∠COE=∠COF=∠DOE=∠DOF=90^{\circ }$，所以$∠AOD+∠AOE=90^{\circ }$，又因为$∠AOE=∠BOF$，所以$∠AOD+∠BOF=90^{\circ }$，所以$∠AOD$的余角有$∠AOE$，$∠BOF$。
②因为$CD⊥EF$，
所以$∠COG+∠FOG=90^{\circ }$。
因为$∠AOD:∠COG=2:3$，$∠AOD=∠BOC$，
所以$∠BOC:∠COG=2:3$。
因为$OG$平分$∠BOF$，所以$∠BOG=∠FOG$。
设$∠BOC=2x$，则$∠COG=3x$，$∠BOG=∠FOG=x$，
所以$∠FOG+∠COG=4x=90^{\circ }$，所以$x=22.5^{\circ }$，
所以$∠AOD=∠BOC=2×22.5^{\circ }=45^{\circ }$。
（2）$∠AOD+2∠COG=90^{\circ }$。
因为$CD⊥EF$，
所以$∠AOD+∠AOF=90^{\circ }$，
又因为$∠AOD=∠BOC$，所以$∠BOC+∠AOF=90^{\circ }$。
因为$OG$平分$∠BOF$，所以$∠BOG=∠FOG$。
因为$∠AOF+∠FOG+∠BOG=180^{\circ }$，即$(90^{\circ }-∠BOC)+(∠COG+∠BOC)+(∠BOC+∠COG)=180^{\circ }$，
所以$∠BOC+2∠COG=90^{\circ }$，所以$∠AOD+2∠COG=90^{\circ }$。
因为$CD⊥EF$，所以$∠COE=∠COF=∠DOE=∠DOF=90^{\circ }$，所以$∠AOD+∠AOE=90^{\circ }$，又因为$∠AOE=∠BOF$，所以$∠AOD+∠BOF=90^{\circ }$，所以$∠AOD$的余角有$∠AOE$，$∠BOF$。
②因为$CD⊥EF$，
所以$∠COG+∠FOG=90^{\circ }$。
因为$∠AOD:∠COG=2:3$，$∠AOD=∠BOC$，
所以$∠BOC:∠COG=2:3$。
因为$OG$平分$∠BOF$，所以$∠BOG=∠FOG$。
设$∠BOC=2x$，则$∠COG=3x$，$∠BOG=∠FOG=x$，
所以$∠FOG+∠COG=4x=90^{\circ }$，所以$x=22.5^{\circ }$，
所以$∠AOD=∠BOC=2×22.5^{\circ }=45^{\circ }$。
（2）$∠AOD+2∠COG=90^{\circ }$。
因为$CD⊥EF$，
所以$∠AOD+∠AOF=90^{\circ }$，
又因为$∠AOD=∠BOC$，所以$∠BOC+∠AOF=90^{\circ }$。
因为$OG$平分$∠BOF$，所以$∠BOG=∠FOG$。
因为$∠AOF+∠FOG+∠BOG=180^{\circ }$，即$(90^{\circ }-∠BOC)+(∠COG+∠BOC)+(∠BOC+∠COG)=180^{\circ }$，
所以$∠BOC+2∠COG=90^{\circ }$，所以$∠AOD+2∠COG=90^{\circ }$。
