8. 如图，□ABCD的对角线交于点O，点M、N、P、Q分别是□ABCD四条边上不重合的点。下列条件：①AQ=CN，AM=CP；②MP、NQ均经过点O；③NQ经过点O，AQ=CN。能判定四边形MNPQ是平行四边形的有________（填序号）。

①② 解析：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC，AD = BC，AB = CD，OA = OC，OB = OD，AD//BC，AB//CD. ① ∵ AQ = CN，∠BAD = ∠BCD，AM = CP，∴ △AMQ≌△CPN(SAS)，∴ MQ = NP. ∵ AQ = CN，AM = CP，∴ DQ = BN，DP = BM. 又 ∠QDP = ∠NBM，∴ △DQP≌△BNM，∴ PQ = MN，∴ 四边形 MNPQ 是平行四边形，故①正确. ② ∵ AD//BC，∴ ∠QAO = ∠NCO. ∵ ∠QAO = ∠NCO，OA = OC，∠AOQ = ∠CON，∴ △AOQ≌△CON，∴ OQ = ON. 同理可得 OM = OP. ∵ OQ = ON，OM = OP，∴ 四边形 MNPQ 是平行四边形，故②正确. ③NQ 经过点 O，AQ = CN，M、P 的位置未知，不能判断四边形 MNPQ 是平行四边形，故③不正确. 故答案为①②.

9. 如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另外两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画________个，请一一在下图中画出来。

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解析：在直线 AB 的左下方有 5 个格点，都可以成为平行四边形的顶点，∴ 这样的平行四边形最多可以画 5 个.

10. (哈尔滨中考)如图①，□ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD、BC分别相交于点E、F，GH过点O，与AB、CD分别相交于点G、H，连接EG、FG、FH、EH。
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图②，若EF//AB，GH//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）。

(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD//BC，OA = OC，∴ ∠EAO = ∠FCO. 在 △OAE 和 △OCF 中，$\begin{cases}∠EAO = ∠FCO \\ OA = OC \\ ∠AOE = ∠COF\end{cases}$，∴ △OAE≌△OCF(ASA)，∴ OE = OF，同理 OG = OH，∴ 四边形 EGFH 是平行四边形.
(2) ▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.

11. (2024·泰州校级月考)在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图①。
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形。
(2)若DE=DC，∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P，如图②。
①当CD=$\sqrt{10}$，CE=2时，求BE的长；
②求证：CD=CH。

(1) ∵ 在平行四边形 ABCD 中，点 O 是对角线 BD 的中点，∴ AD//BC，BO = DO，∴ ∠ADB = ∠CBD. 在 △BOE 与 △DOF 中，$\begin{cases}∠EBO = ∠FDO \\ BO = DO \\ ∠BOE = ∠DOF\end{cases}$，∴ △BOE≌△DOF(ASA)，∴ OE = OF. 又 ∵ BO = DO，∴ 四边形 BEDF 是平行四边形.
(2) ①如图，过点 D 作 DN⊥EC 于点 N. ∵ DE = DC = $\sqrt{10}$，DN⊥EC，CE = 2，∴ EN = CN = 1，

∴ DN = $\sqrt{DC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{10 - 1}=3$. ∵ ∠DBC = 45°，DN⊥BC，∴ ∠DBC = ∠BDN = 45°，∴ DN = BN = 3，∴ BE = BN - EN = 3 - 1 = 2. ∴ BE 的长为 2.
② ∵ DN⊥EC，CG⊥DE，∴ ∠CEG + ∠ECG = 90°，∠DEN + ∠EDN = 90°，∴ ∠EDN = ∠ECG. ∵ DE = DC，DN⊥EC，∴ ∠EDN = ∠CDN，∴ ∠ECG = ∠CDN. ∵ ∠DHC = ∠DBC + ∠BCH = 45° + ∠BCH，∠CDB = ∠BDN + ∠CDN = 45° + ∠CDN，∴ ∠CDB = ∠DHC，∴ CD = CH.