1. (2024·襄阳校级月考)小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：将两根木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是 ( )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形

A

2. (2024·绍兴期末)牛顿曾说过："反证法是数学家最精当的武器之一。"那么我们用反证法证明命题"等腰三角形的底角是锐角"时，第一步应假设 ( )
A. 等腰三角形的底角是直角或钝角
B. 等腰三角形的底角是直角
C. 等腰三角形的底角是钝角
D. 等腰三角形的底角是锐角

A

3. 如图，在四边形ABCD中，AO=OC，BD=12厘米，则当OB=__________厘米时，四边形ABCD是平行四边形.

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4. (绵阳中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为________.

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5. (2023·杭州中考)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE、EC、CF、FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.

(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA = OC，OB = OD. ∵ BE = FD，∴ OB - BE = OD - FD，∴ OE = OF. 又 ∵ OA = OC，∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
(2) ∵ S_{△ABE}=2，BE = EF，∴ S_{△AEF}=S_{△ABE}=2. ∵ 四边形 AECF 是平行四边形，∴ S_{△CFO}=$\frac{1}{2}$S_{△CEF}=$\frac{1}{2}$S_{△AEF}=$\frac{1}{2}$×2 = 1.

6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O。求证：BD和CE不可能互相平分（用反证法证明）

连接 DE，假设 BD 和 CE 互相平分，则四边形 EBCD 是平行四边形，∴ BE//CD. ∵ 在 △ABC 中，点 D、E 分别在 AC、AB 上，∴ BE 不可能平行于 CD，与已知矛盾. 故假设不成立，原命题正确. 即 BD 和 CE 不可能互相平分.

7. (2024·保定期中)如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD、BC于点E、F，在BD上找点M、N（点N在点M下方），使以点E、F、M、N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是 ( )

A. 甲、乙、丙
B. 只有甲、乙
C. 只有甲、丙
D. 只有乙、丙

A 解析：在平行四边形 ABCD 中，OB = OD，DE//BF，∴ ∠EDO = ∠FBO，在 △BFO 和 △DEO 中，$\begin{cases}∠FBO = ∠EDO \\ OB = OD \\ ∠FOB = ∠EOD\end{cases}$，∴ △BFO≌△DEO(ASA)，∴ OE = OF.
甲方案：∵ BN = DM，∴ ON = OM. 由对角线互相平分可知四边形 EMFN 为平行四边形；
乙方案：∵ EM⊥BD，FN⊥BD，∴ ∠EMO = ∠FNO = 90°，在 △EMO 和 △FNO 中，$\begin{cases}∠EMO = ∠FNO = 90° \\ ∠EOM = ∠FON \\ OE = OF\end{cases}$，∴ △EMO≌△FNO(AAS)，∴ MO = NO. 由对角线互相平分可知四边形 EMFN 为平行四边形；
丙方案：∵ AD//BC，∴ ∠DEF = ∠BFE. ∵ EM 平分 ∠DEF 且 FN 平分 ∠BFE，∴ ∠OEM = ∠OFN. 在 △EMO 和 △FNO 中，$\begin{cases}∠OEM = ∠OFN \\ OE = OF \\ ∠EOM = ∠FON\end{cases}$，∴ △EMO≌△FNO(ASA)，∴ MO = NO. 由对角线互相平分可知四边形 EMFN 为平行四边形；综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点 E、F、M、N 为顶点的四边形为平行四边形. 故选 A.