15. (2023·芜湖校级模拟) 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A= 15^{\circ}, A B= 2$, 
$P$ 为 $A C$ 边上的一个动点 (不与 $A 、 C$ 重合), 连接 $B P$, 则 $\frac{\sqrt{2}}{2} A P+P B$ 的最小值是______.
$P$ 为 $A C$ 边上的一个动点 (不与 $A 、 C$ 重合), 连接 $B P$, 则 $\frac{\sqrt{2}}{2} A P+P B$ 的最小值是______.答案
16. (2022·宿迁中考) 如图, 在网格中, 每个小正方形的边长均为 1, 每个小正方形的顶点称为格点, 点 $A 、 B 、 C 、 D 、 M$ 均为格点.
【操作探究】在数学活动课上, 佳佳同学在如图①的网格中, 用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段 $A B 、 C D$, 相交于点 $P$ 并给出部分说理过程, 请你补充完整:
解: 在网格中取格点 $E$, 构建两个直角三角形, 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$.
在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中, $\tan \angle B A C= \frac{1}{2}$.
在 $\mathrm{Rt} \triangle C D E$ 中,______,
所以 $\tan \angle B A C= \tan \angle D C E$.
所以 $\angle B A C= \angle D C E$.
因为 $\angle A C P+\angle D C E= \angle A C B= 90^{\circ}$,
所以 $\angle A C P+\angle B A C= 90^{\circ}$,
所以 $\angle A P C= 90^{\circ}$,
即 $A B \perp C D$.
【拓展应用】
(1) 如图②是以格点 $O$ 为圆心, $A B$ 为直径的圆, 请你只用无刻度的直尺, 在 $\overparen{B M}$ 上找出一点 $P$, 使 $\overparen{P M}= \overparen{A M}$, 写出作法, 并给出证明;
(2) 如图③是以格点 $O$ 为圆心的圆, 请你只用无刻度的直尺, 在弦 $A B$ 上找出一点 $P$, 使 $A M^{2}= A P \cdot A B$, 写出作法, 不用证明.
![img alt=16]
【操作探究】在数学活动课上, 佳佳同学在如图①的网格中, 用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段 $A B 、 C D$, 相交于点 $P$ 并给出部分说理过程, 请你补充完整:
解: 在网格中取格点 $E$, 构建两个直角三角形, 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$.
在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中, $\tan \angle B A C= \frac{1}{2}$.
在 $\mathrm{Rt} \triangle C D E$ 中,______,
所以 $\tan \angle B A C= \tan \angle D C E$.
所以 $\angle B A C= \angle D C E$.
因为 $\angle A C P+\angle D C E= \angle A C B= 90^{\circ}$,
所以 $\angle A C P+\angle B A C= 90^{\circ}$,
所以 $\angle A P C= 90^{\circ}$,
即 $A B \perp C D$.
【拓展应用】
(1) 如图②是以格点 $O$ 为圆心, $A B$ 为直径的圆, 请你只用无刻度的直尺, 在 $\overparen{B M}$ 上找出一点 $P$, 使 $\overparen{P M}= \overparen{A M}$, 写出作法, 并给出证明;
(2) 如图③是以格点 $O$ 为圆心的圆, 请你只用无刻度的直尺, 在弦 $A B$ 上找出一点 $P$, 使 $A M^{2}= A P \cdot A B$, 写出作法, 不用证明.
![img alt=16]
答案
