典例8(2023·无锡)有下列命题:①各边相等的多边形是正多边形;②正多边形是中心对称图形;③正六边形的外接圆半径与正六边形的边长相等;④正n边形共有n条对称轴.其中,真命题的个数是 （ ）
A. 4　　　
　B. 3　　　
　C. 2　　　
　D. 1

只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形. 故①为假命题. 正多边形不一定是中心对称图形，如正三角形、正五边形. 故②为假命题. 正六边形的外接圆半径与正六边形的边长相等. 故③为真命题. 根据轴对称图形的定义和正多边形的特点可知，正n边形共有n条对称轴. 故④为真命题. 综上所述，真命题的个数是2. 故选C.

典例9(2023·泰州)如图,CD是五边形ABCDE的一边,若AM垂直平分CD,垂足为M,且________,________,则________.
给出下列信息:①AM平分∠BAE;②AB = AE;③BC = ED.请从中选择适当信息,将对应的序号填到横线上方,使之构成真命题,补全图形,并加以证明.

根据题意，补全图形如图所示. 若选②③①：连接AC，AD. ∵AM垂直平分CD，∴CM = DM，AC = AD. 在$\triangle ACM$和$\triangle ADM$中，$\begin{cases}AM = AM\\AC = AD\\CM = DM\end{cases}$，∴$\triangle ACM≌\triangle ADM$（SSS）. ∴∠CAM = ∠DAM. 在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，$\begin{cases}AB = AE\\AC = AD\\BC = ED\end{cases}$，∴$\triangle ABC≌\triangle AED$（SSS）. ∴∠BAC = ∠EAD. 又∵∠CAM = ∠DAM，∴∠BAC + ∠CAM = ∠EAD + ∠DAM，即∠BAM = ∠EAM=$\frac{1}{2}$∠BAE，∴AM平分∠BAE. 若选①②③：连接AC，AD. ∵AM垂直平分CD，∴CM = DM，AC = AD. 在$\triangle ACM$和$\triangle ADM$中，$\begin{cases}AM = AM\\AC = AD\\CM = DM\end{cases}$，∴$\triangle ACM≌\triangle ADM$（SSS）. ∴∠CAM = ∠DAM. ∵AM平分∠BAE，∴∠BAM = ∠EAM. 又∵∠CAM = ∠DAM，∴∠BAM - ∠CAM = ∠EAM - ∠DAM，即∠BAC = ∠EAD. 在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，$\begin{cases}AC = AD\\∠BAC = ∠EAD\\AB = AE\end{cases}$，∴$\triangle ABC≌\triangle AED$（SAS）. ∴BC = ED.

1. (2024·苏州吴江二模)若∠1 = 43°，则∠1的余角是 （ ）
A. 43°
B. 47°
C. 57°
D. 137°

B

2. (2024·盐城)如图，小明将一块直角三角尺摆放在直尺上.若∠1 = 55°，则∠2的度数为 （ ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 55°
　　　　

B

3. (2024·盐城二模)如图，AD//BC，AP，BP分别平分∠DAB，∠ABC，CD过点P且与AD垂直.若CD = 8，AB = 10，则△ABP的面积为 （ ）
A. 20 B. 16 C. 40 D. 32
　　　　

A

4. (2023·镇江)如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠ABC的度数是140°，那么第二次的拐角∠BCD的度数是_______.
　　　　　　

140°

5. (2024·扬州宝应二模)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD.若∠B = ∠ADB，AB = 3，则DC的长是_______.
　　　　　　　　　　

3

6. (2024·泰州高港三模)定理：直径所对的圆周角是直角.
(1) 写出此定理的逆命题.
(2) 判断此定理的逆命题是否为真命题，如果是真命题，请画出图形，写出已知、求证，并证明；如果不是真命题，请说明理由.

(1) 此定理的逆命题：90°的圆周角所对的弦是直径 (2) 此定理的逆命题是真命题 画出图形如图所示. 已知：点A，B，C在⊙O上，∠ACB = 90°. 求证：AB为⊙O的直径. 证明：连接OA，OB. ∵∠ACB = 90°，∴∠AOB = 2∠ACB = 180°. ∴点A，O，B在同一条直线上. ∴AB为⊙O的直径