1 先算一算，再任选两题进行验算。
$\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=$
$\frac{1}{6}+\frac{7}{18}=$
$\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=$
$\frac{11}{12}-\frac{5}{9}=$
$\frac{1}{9}+\frac{2}{7}=$
$\frac{5}{7}+\frac{3}{14}=$
验算

$\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{6}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$
$\frac{1}{6}+\frac{7}{18}=\frac{3}{18}+\frac{7}{18}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$
$\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$\frac{11}{12}-\frac{5}{9}=\frac{33}{36}-\frac{20}{36}=\frac{13}{36}$
$\frac{1}{9}+\frac{2}{7}=\frac{7}{63}+\frac{18}{63}=\frac{25}{63}$
$\frac{5}{7}+\frac{3}{14}=\frac{10}{14}+\frac{3}{14}=\frac{13}{14}$
验算：
$\frac{5}{8}+\frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

【分析】
这是一组异分母分数加减法计算题，解题思路如下：
1. 对于异分母分数的加减运算，首先要进行通分，找到两个分母的最小公倍数作为公分母，将异分母分数转化为同分母分数；
2. 转化后按照同分母分数加减法的规则计算，即分母不变，分子相加减；
3. 计算结果如果不是最简分数，需要约分至最简形式；
4. 验算时，减法可以用“差+减数=被减数”来验证，加法可以用“和-一个加数=另一个加数”来验证，任选两题进行验算即可。
【解析】
1. $\frac{3}{4}-\frac{1}{8}$：
通分，4和8的最小公倍数是8，$\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$，则$\frac{6}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$；
2. $\frac{1}{6}+\frac{7}{18}$：
通分，6和18的最小公倍数是18，$\frac{1}{6}=\frac{3}{18}$，则$\frac{3}{18}+\frac{7}{18}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$；
3. $\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$：
通分，6和3的最小公倍数是6，$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$，则$\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
4. $\frac{11}{12}-\frac{5}{9}$：
通分，12和9的最小公倍数是36，$\frac{11}{12}=\frac{33}{36}$，$\frac{5}{9}=\frac{20}{36}$，则$\frac{33}{36}-\frac{20}{36}=\frac{13}{36}$；
5. $\frac{1}{9}+\frac{2}{7}$：
通分，9和7的最小公倍数是63，$\frac{1}{9}=\frac{7}{63}$，$\frac{2}{7}=\frac{18}{63}$，则$\frac{7}{63}+\frac{18}{63}=\frac{25}{63}$；
6. $\frac{5}{7}+\frac{3}{14}$：
通分，7和14的最小公倍数是14，$\frac{5}{7}=\frac{10}{14}$，则$\frac{10}{14}+\frac{3}{14}=\frac{13}{14}$；
验算（任选两题）：
验算$\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$：$\frac{5}{8}+\frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，与被减数一致，计算正确；
验算$\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$，与被减数一致，计算正确。
【答案】
$\frac{5}{8}$；$\frac{5}{9}$；$\frac{1}{2}$；$\frac{13}{36}$；$\frac{25}{63}$；$\frac{13}{14}$
验算：$\frac{5}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$；$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$（验算答案不唯一，符合规则即可）
【知识点】
异分母分数加减法、分数通分、分数验算
【点评】
本题主要考查异分母分数的加减运算及验算，核心是掌握通分的方法，将异分母转化为同分母后进行计算，验算环节能有效检验计算结果的正确性，帮助学生提升计算的准确性和严谨性，是分数运算的基础题型。
【难度系数】
0.8

2 某小区实行垃圾分类后，统计情况如下表所示。

可回收物比有害垃圾多占总数的几分之几？

$\frac{2}{5} - \frac{2}{25}$
$=\frac{10}{25} - \frac{2}{25}$
$=\frac{8}{25}$
答：可回收物比有害垃圾多占总数的$\frac{8}{25}$。

【分析】
要解决“可回收物比有害垃圾多占总数的几分之几”的问题，核心是求两个分数的差值。首先从表格中找到可回收物占总数的$\frac{2}{5}$，有害垃圾占总数的$\frac{2}{25}$，由于这两个分数是异分母分数，不能直接相减，所以需要先通分，将它们转化为同分母分数后，再进行减法运算即可得到结果。
【解析】
求可回收物比有害垃圾多占总数的几分之几，用可回收物的占比减去有害垃圾的占比：
$\frac{2}{5} - \frac{2}{25}$
第一步通分，将$\frac{2}{5}$化为分母为25的分数：$\frac{2}{5}=\frac{2×5}{5×5}=\frac{10}{25}$
第二步进行同分母分数减法计算：$\frac{10}{25} - \frac{2}{25}=\frac{8}{25}$
答：可回收物比有害垃圾多占总数的$\frac{8}{25}$。
【答案】
$\frac{8}{25}$
【知识点】
异分母分数减法，分数通分
【点评】
本题考查异分母分数减法在实际生活中的应用，解题关键是熟练掌握异分母分数的减法法则：先通分，把异分母分数转化为同分母分数，再按照同分母分数减法的计算方法进行运算，计算时要注意通分的准确性。
【难度系数】
0.8

3 求$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$的值可用下面的两种方法：
方法一：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$；
方法二：通过画图发现$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$的值等于1减去涂色部分的面积$\frac{1}{8}$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$。

(1)请你模仿上述两种方法求$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$的值。


(2)用合理的方法求$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+···+\frac{1}{2048}$的值。

(1)方法一：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$
$=\frac{16}{32}+\frac{8}{32}+\frac{4}{32}+\frac{2}{32}+\frac{1}{32}$
$=\frac{31}{32}$
方法二：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
(2)
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+···+\frac{1}{2048}=1-\frac{1}{2048}=\frac{2047}{2048}$

【分析】
对于(1)，方法一的解题思路是利用分数通分的方法，先找到所有分数分母的最小公倍数32，将每个分数转化为分母是32的分数，再把分子相加得到结果；方法二借鉴题目中的图形思路，把整体看作单位“1”，这些分数相加的和等于1减去最后一个分数，因为每次相加的分数都是剩余部分的一半，最后未被相加的部分就是$\frac{1}{32}$。
对于(2)，观察前面算式的规律：$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$，以此类推，这类分数求和的结果等于1减去最后一个分数，利用这个规律可以快速计算出结果。
【解析】
(1)方法一：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$
$=\frac{16}{32}+\frac{8}{32}+\frac{4}{32}+\frac{2}{32}+\frac{1}{32}$
$=\frac{16+8+4+2+1}{32}$
$=\frac{31}{32}$
方法二：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
(2)根据前面总结的规律可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+···+\frac{1}{2048}=1-\frac{1}{2048}=\frac{2047}{2048}$
【答案】
(1) $\frac{31}{32}$；(2) $\frac{2047}{2048}$
【知识点】
分数加法运算，规律型计算
【点评】
本题展示了分数加法的两种计算方式，通分法是基础运算方法，适用于所有分数加法；规律法通过观察算式特征总结出简便算法，能大幅简化多个分数求和的运算，有助于培养学生的观察能力和归纳能力。
【难度系数】
0.6