典例6 如图，一次函数$y = mx + n(m \neq 0)$的图像与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图像交于$A(a, - 1)$，$B( - 1,3)$两点，且一次函数的图像交$x$轴于点$C$，交$y$轴于点$D$。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在第四象限的反比例函数图像上有一点$P$，使得$S_{\triangle OCP} = 6S_{\triangle OBD}$，求点$P$的坐标。

典例6 (1) ∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图像过点B(-1，3)，∴k = -1×3 = -3. ∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$. ∵点A(a，-1)在反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图像上，∴$-\frac{3}{a}=-1$，解得a = 3. ∴点A的坐标为(3，-1). ∵一次函数y = mx + n(m≠0)的图像经过A，B两点，∴$\begin{cases}3m + n = - 1\\-m + n = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - 1\\n = 2\end{cases}$.∴一次函数的表达式为y = -x + 2. (2) 在y = -x + 2中，令x = 0，得y = 2；令y = 0，得x = 2. ∴点D的坐标为(0，2)，点C的坐标为(2，0). ∴OD = OC = 2. ∴$S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}\times2\times1 = 1$.∵$S_{\triangle OCP}=6S_{\triangle OBD}$，∴$S_{\triangle OCP}=\frac{1}{2}OC\cdot|y_{P}| = 6$，即$\frac{1}{2}\times2\times|y_{P}| = 6$. ∴$|y_{P}| = 6$，解得$y_{P}=-6$(正值舍去). 在$y=-\frac{3}{x}$中，令y = -6，则$-\frac{3}{x}=-6$，解得$x=\frac{1}{2}$. ∴点P的坐标为$(\frac{1}{2},-6)$.

典例7 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = k_1x + b$的图像与反比例函数$y = \frac{k_2}{x}$的图像交于点$A(1,3m - 4)$，$B(m,1)$。
（1）求$k_1$，$k_2$的值；
（2）直线$DE$在直线$AB$的下方且与$AB$平行，与$x$轴、$y$轴分别交于$D$，$E$两点，$P$是直线$AB$上的一动点，当$\triangle PDE$的面积为$1$时，求直线$DE$对应的函数表达式。

典例7 (1) ∵反比例函数$y=\frac{k_{2}}{x}$的图像过点A(1，3m - 4)，B(m，1)，∴$k_{2}=1\times(3m - 4)=m\times1$，解得m = 2，$k_{2}=2$. ∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(2，1). ∵点A(1，2)，B(2，1)在一次函数y = k₁x + b的图像上，∴$\begin{cases}k_{1}+b = 2\\2k_{1}+b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{1}=-1\\b = 3\end{cases}$. ∴k₁的值为-1，k₂的值为2. (2) 由(1)可知，一次函数的表达式为y = -x + 3. 设直线AB与y轴的交点为M，连接DM，则易得点M的坐标为(0，3). ∵直线DE在直线AB的下方，且DE//AB，∴设直线DE对应的函数表达式为y = -x + 3 - n(n＞0). 令x = 0，则y = 3 - n；令y = 0，则x = 3 - n. ∴点D的坐标为(3 - n，0)，点E的坐标为(0，3 - n). ∴ME = n，OD = OE = |3 - n|. ∴$S_{\triangle PDE}=S_{\triangle MDE}=\frac{1}{2}\times|3 - n|\times n = 1$，解得n = 2或n = 1或$n=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$或$n=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$(不合题意，舍去). ∴直线DE对应的函数表达式为y = -x + 1或y = -x + 2或$y=-x+\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.