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11. 将下列各式通分：
（1）$\frac{x^{2}}{x^{2}-9}$，$\frac{3}{6x - 9 - x^{2}}$；
（2）$\frac{a^{2}-4}{a^{2}-4a + 4}$，$\frac{4a}{a^{2}+2a}$；
（3）$\frac{x}{x - y}$，$\frac{y}{x^{2}+2xy + y^{2}}$，$\frac{2}{y^{2}-x^{2}}$；
（4）$a - b$，$\frac{b}{a - b}$，$\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$.
（1）$\frac{x^{2}}{x^{2}-9}$，$\frac{3}{6x - 9 - x^{2}}$；
（2）$\frac{a^{2}-4}{a^{2}-4a + 4}$，$\frac{4a}{a^{2}+2a}$；
（3）$\frac{x}{x - y}$，$\frac{y}{x^{2}+2xy + y^{2}}$，$\frac{2}{y^{2}-x^{2}}$；
（4）$a - b$，$\frac{b}{a - b}$，$\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$.
答案
(1)$\frac{x^2}{x^2 - 9}=\frac{x^2(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)^2}$，$\frac{3}{6x - 9 - x^2}=-\frac{3(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)^2}$
(2)$\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4}=\frac{(a - 2)(a + 2)}{(a - 2)^2}=\frac{a + 2}{a - 2}=\frac{(a + 2)^2}{(a + 2)(a - 2)}$，$\frac{4a}{a^2 + 2a}=\frac{4a}{a(a + 2)}=\frac{4}{a + 2}=\frac{4(a - 2)}{(a + 2)(a - 2)}$
(3)$\frac{x}{x - y}=\frac{x(x + y)^2}{(x + y)^2(x - y)}$，$\frac{y}{x^2 + 2xy + y^2}=\frac{y(x - y)}{(x + y)^2(x - y)}$，$\frac{2}{y^2 - x^2}=-\frac{2(x + y)}{(x + y)^2(x - y)}$
(4)$a - b=\frac{(a - b)^2(a + b)}{a^2 - b^2}$，$\frac{b}{a - b}=\frac{b(a + b)}{a^2 - b^2}$，$\frac{1}{a^2 - b^2}=\frac{1}{a^2 - b^2}$
(2)$\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4}=\frac{(a - 2)(a + 2)}{(a - 2)^2}=\frac{a + 2}{a - 2}=\frac{(a + 2)^2}{(a + 2)(a - 2)}$，$\frac{4a}{a^2 + 2a}=\frac{4a}{a(a + 2)}=\frac{4}{a + 2}=\frac{4(a - 2)}{(a + 2)(a - 2)}$
(3)$\frac{x}{x - y}=\frac{x(x + y)^2}{(x + y)^2(x - y)}$，$\frac{y}{x^2 + 2xy + y^2}=\frac{y(x - y)}{(x + y)^2(x - y)}$，$\frac{2}{y^2 - x^2}=-\frac{2(x + y)}{(x + y)^2(x - y)}$
(4)$a - b=\frac{(a - b)^2(a + b)}{a^2 - b^2}$，$\frac{b}{a - b}=\frac{b(a + b)}{a^2 - b^2}$，$\frac{1}{a^2 - b^2}=\frac{1}{a^2 - b^2}$
12. 已知$a、b$为实数，且$ab = 3$，$a + b = 4$.
（1）通分：$\frac{a - 1}{a + 1}$，$\frac{b - 1}{b + 1}$；
（2）试求$\frac{a - 1}{a + 1}$的值.
（1）通分：$\frac{a - 1}{a + 1}$，$\frac{b - 1}{b + 1}$；
（2）试求$\frac{a - 1}{a + 1}$的值.
答案
(1)$\frac{a - 1}{a + 1}=\frac{(a - 1)(b + 1)}{(a + 1)(b + 1)}$，$\frac{b - 1}{b + 1}=\frac{(a + 1)(b - 1)}{(a + 1)(b + 1)}$
(2)由(1)得$\frac{a - 1}{a + 1}=\frac{(a - 1)(b + 1)}{(a + 1)(b + 1)}=\frac{ab + a - b - 1}{ab + a + b + 1}$. 由$ab = 3$，$a + b = 4$，得$a - b=\pm2$，$\therefore\frac{a - 1}{a + 1}=\frac{1}{2}$或0.
(2)由(1)得$\frac{a - 1}{a + 1}=\frac{(a - 1)(b + 1)}{(a + 1)(b + 1)}=\frac{ab + a - b - 1}{ab + a + b + 1}$. 由$ab = 3$，$a + b = 4$，得$a - b=\pm2$，$\therefore\frac{a - 1}{a + 1}=\frac{1}{2}$或0.
13.（2024·福建期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：$\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}$.
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：$\frac{4}{x + 1}$、$\frac{x + 1}{x^{2}}$；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：$\frac{x + 2}{x - 1}$、$\frac{x^{2}-1}{2x + 1}$. 类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：$\frac{x + 2}{x - 1}=\frac{(x - 1)+3}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{3}{x - 1}=1+\frac{3}{x - 1}$；$\frac{x^{2}}{x - 2}=\frac{(x^{2}-4)+4}{x - 2}=\frac{(x + 2)(x - 2)+4}{x - 2}=x + 2+\frac{4}{x - 2}$.
（1）将假分式$\frac{3x + 1}{x - 1}$、$\frac{x^{2}+3}{x + 2}$分别化为整式与真分式的和的形式；
（2）如果分式$\frac{2x^{2}-1}{x - 1}$的值为整数，求出所有符合条件的整数$x$的值.
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：$\frac{4}{x + 1}$、$\frac{x + 1}{x^{2}}$；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：$\frac{x + 2}{x - 1}$、$\frac{x^{2}-1}{2x + 1}$. 类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：$\frac{x + 2}{x - 1}=\frac{(x - 1)+3}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{3}{x - 1}=1+\frac{3}{x - 1}$；$\frac{x^{2}}{x - 2}=\frac{(x^{2}-4)+4}{x - 2}=\frac{(x + 2)(x - 2)+4}{x - 2}=x + 2+\frac{4}{x - 2}$.
（1）将假分式$\frac{3x + 1}{x - 1}$、$\frac{x^{2}+3}{x + 2}$分别化为整式与真分式的和的形式；
（2）如果分式$\frac{2x^{2}-1}{x - 1}$的值为整数，求出所有符合条件的整数$x$的值.
答案
(1)$\frac{3x + 1}{x - 1}=\frac{3x - 3 + 4}{x - 1}=3+\frac{4}{x - 1}$，$\frac{x^2 + 3}{x + 2}=\frac{x^2 - 4 + 7}{x + 2}=\frac{(x + 2)(x - 2)+7}{x + 2}=x - 2+\frac{7}{x + 2}$
(2)$\frac{2x^2 - 1}{x - 1}=\frac{2x^2 - 2 + 1}{x - 1}=\frac{2(x + 1)(x - 1)+1}{x - 1}=2(x + 1)+\frac{1}{x - 1}$.$\because$分式的值为整数，$x$为整数，$\therefore x - 1 = 1$或$x - 1=-1$，解得$x = 2$或$x = 0$，$\therefore$当$x = 2$或0时，分式$\frac{2x^2 - 1}{x - 1}$的值为整数.
(2)$\frac{2x^2 - 1}{x - 1}=\frac{2x^2 - 2 + 1}{x - 1}=\frac{2(x + 1)(x - 1)+1}{x - 1}=2(x + 1)+\frac{1}{x - 1}$.$\because$分式的值为整数，$x$为整数，$\therefore x - 1 = 1$或$x - 1=-1$，解得$x = 2$或$x = 0$，$\therefore$当$x = 2$或0时，分式$\frac{2x^2 - 1}{x - 1}$的值为整数.
