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9.（2024·盐城中考改编）矩形相邻两边长分别为$2\sqrt{2}\ cm$，$\sqrt{5}\ cm$，设其面积为$S\ cm^{2}$，则$S$在两个连续整数之间，这两个连续整数是 （ ）
A. 4和5
B. 5和6
C. 6和7
D. 7和8
A. 4和5
B. 5和6
C. 6和7
D. 7和8
答案
9. C 解析：$S = 2\sqrt{2}\times\sqrt{5}=2\sqrt{10}(cm^{2})$，$\because(2\sqrt{10})^{2}=40$，且$36 ＜ 40 ＜ 49$，$\therefore\sqrt{36}＜2\sqrt{10}＜\sqrt{49}$，$\therefore6 ＜ 2\sqrt{10}＜7$，即$S$在6和7之间. 故选C.
10.（2024·商丘期末）已知化简$\sqrt{96} \cdot \sqrt{a}$的结果是一个整数，则正整数$a$的最小值是_______.
答案
10. 6 解析：$\because\sqrt{96}\cdot\sqrt{a}=\sqrt{96a}=\sqrt{16\times6a}=4\sqrt{6a}$，且$\sqrt{96}\cdot\sqrt{a}$的结果是一个整数，$\therefore\sqrt{6a}$是一个整数，$\therefore6a$是平方数，$\therefore$正整数$a$的最小值是6.
11.（2024·德阳中考改编）将一组数$\sqrt{2},2,\sqrt{6},2\sqrt{2},\sqrt{10},2\sqrt{3},\cdots,\sqrt{2n}$按以下方式进行排列：
则第八行左起第2个数是_______.
则第八行左起第2个数是_______.
答案
11. $2\sqrt{15}$ 解析：由题图可知，第一行有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得第一行至第七行共有$1 + 2+3 + 4+5 + 6+7 = 28$(个)数，则第八行左起第2个数是$\sqrt{2\times(28 + 2)}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$.
12. 计算：
（1）$\sqrt{\frac{3}{4}} \times \sqrt{2\frac{2}{3}}$；
（2）$(-\sqrt{xy^{5}}) \cdot \sqrt{x^{3}y} \cdot (-\sqrt{\frac{1}{y^{6}}})(x \geq 0,y ＞ 0)$；
（3）$\sqrt{108a^{3}b} \cdot (-\sqrt{6b})(a \geq 0,b \geq 0)$；
（4）$\sqrt{2025^{2}-2023^{2}}$；
（5）$(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})$.
（1）$\sqrt{\frac{3}{4}} \times \sqrt{2\frac{2}{3}}$；
（2）$(-\sqrt{xy^{5}}) \cdot \sqrt{x^{3}y} \cdot (-\sqrt{\frac{1}{y^{6}}})(x \geq 0,y ＞ 0)$；
（3）$\sqrt{108a^{3}b} \cdot (-\sqrt{6b})(a \geq 0,b \geq 0)$；
（4）$\sqrt{2025^{2}-2023^{2}}$；
（5）$(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})$.
答案
(1)原式$=\sqrt{\frac{3}{4}\times\frac{8}{3}}=\sqrt{2}$.
(2)原式$=\sqrt{xy^{5}\cdot x^{3}y\cdot\frac{1}{y^{6}}}=\sqrt{x^{4}}=x^{2}$.
(3)原式$=-\sqrt{108a^{3}b}\cdot\sqrt{6b}=-\sqrt{648a^{3}b^{2}}=-18ab\sqrt{2a}$.
(4)原式$=\sqrt{(2025 - 2023)(2025 + 2023)}=\sqrt{2\times4048}=4\sqrt{506}$.
(5)原式$=(2\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}=12 - 18=-6$.
(2)原式$=\sqrt{xy^{5}\cdot x^{3}y\cdot\frac{1}{y^{6}}}=\sqrt{x^{4}}=x^{2}$.
(3)原式$=-\sqrt{108a^{3}b}\cdot\sqrt{6b}=-\sqrt{648a^{3}b^{2}}=-18ab\sqrt{2a}$.
(4)原式$=\sqrt{(2025 - 2023)(2025 + 2023)}=\sqrt{2\times4048}=4\sqrt{506}$.
(5)原式$=(2\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}=12 - 18=-6$.
13.（2024·烟台期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为$30\ cm^{2}$和$48\ cm^{2}$的两个小正方形，则余下部分的面积为_______$cm^{2}$.
答案
13. $24\sqrt{10}$ 解析：从一个大正方形中裁去面积为$30cm^{2}$和$48cm^{2}$的两个小正方形，大正方形的边长是$\sqrt{30}+\sqrt{48}=(\sqrt{30}+4\sqrt{3})cm$，余下部分(即阴影部分)的面积是$(\sqrt{30}+4\sqrt{3})^{2}-30 - 48=24\sqrt{10}(cm^{2})$.
14. 原创题 观察下列各式：$\sqrt{1+\frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$，$\cdots\cdots$
（1）根据上述等式推断$\sqrt{5+\frac{1}{7}}=$_______.
（2）针对上述各式反映的规律，写出用$n(n$为任意自然数，且$n \geq 2)$表示的等式，并进行验证.
（3）应用运算规律化简$\sqrt{2022+\frac{1}{2024}} \times \sqrt{4048}$.
（1）根据上述等式推断$\sqrt{5+\frac{1}{7}}=$_______.
（2）针对上述各式反映的规律，写出用$n(n$为任意自然数，且$n \geq 2)$表示的等式，并进行验证.
（3）应用运算规律化简$\sqrt{2022+\frac{1}{2024}} \times \sqrt{4048}$.
答案
(1)$6\sqrt{\frac{1}{7}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$ 验证：$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n(n + 2)+1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n^{2}+2n + 1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^{2}}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$.
(3)$\sqrt{2022+\frac{1}{2024}}\times\sqrt{4048}=2023\times\sqrt{\frac{1}{2024}}\times\sqrt{4048}=2023\sqrt{2}$.
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$ 验证：$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n(n + 2)+1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n^{2}+2n + 1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^{2}}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$.
(3)$\sqrt{2022+\frac{1}{2024}}\times\sqrt{4048}=2023\times\sqrt{\frac{1}{2024}}\times\sqrt{4048}=2023\sqrt{2}$.
