10.（2023·河北中考改编）根据下表中的数据，写出$a + b$的值为_______.

$\frac{1}{2}$ 解析：当$x = n$时，$3x + 1 = b$，即$3n+1 = b$，当$x = 2$时，$\frac{2x + 1}{x}=a$，即$a=\frac{2\times2 + 1}{2}=\frac{5}{2}$，当$x = n$时，$\frac{2x + 1}{x}=1$，即$\frac{2n + 1}{n}=1$，解得$n = -1$，经检验，$n = -1$是分式方程的解，$\therefore b = 3\times(-1)+1=-2$，$\therefore a + b=\frac{1}{2}$。

11.（2024·重庆中考）若关于x的不等式组$\begin{cases}\frac{4x - 1}{3}＜x + 1,\\2(x + 1)\geqslant -x + a\end{cases}$至少有2个整数解，且关于y的分式方程$\frac{a - 1}{y - 1}=2-\frac{3}{1 - y}$的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_______.

16 解析：$\begin{cases}\frac{4x - 1}{3}＜x + 1, &①\\2(x + 1)\geqslant -x + a, &②\end{cases}$解不等式①得$x＜4$，解不等式②得$x\geqslant\frac{a - 2}{3}$。$\because$关于$x$的一元一次不等式组至少有2个整数解，$\therefore\frac{a - 2}{3}\leqslant2$，解得$a\leqslant8$。解关于$y$的分式方程$\frac{a - 1}{y - 1}=2-\frac{3}{1 - y}$，得$y=\frac{a - 2}{2}$。$\because$关于$y$的分式方程的解为非负整数，$\therefore\frac{a - 2}{2}\geqslant0$且$\frac{a - 2}{2}\neq1$，$a - 2$是偶数，解得$a\geqslant2$且$a\neq4$，$a$是偶数，$\therefore2\leqslant a\leqslant8$且$a\neq4$，$a$是偶数，则所有满足条件的整数$a$的值之和是$2 + 6+8 = 16$。

12. 关于x的方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解为$x_1 = c$，$x_2=\frac{1}{c}$，$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$（可变形为$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$）的解为$x_1 = c$，$x_2=-\frac{1}{c}$，$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解为$x_1 = c$，$x_2=\frac{2}{c}$，$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解为$x_1 = c$，$x_2=\frac{3}{c}$，….
（1）请你根据上述方程与解的特征，猜想关于x的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m\neq0)$的解是什么.
（2）请总结上面的结论，并求出关于x的方程$x+\frac{2}{x - 1}=a+\frac{2}{a - 1}$的解.

(1)$x_{1}=c$，$x_{2}=\frac{m}{c}(m\neq0)$。
(2)结论：方程$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}(n\neq0)$的解为$x_{1}=c$，$x_{2}=\frac{n}{c}(n\neq0)$。关于$x$的方程$x+\frac{2}{x - 1}=a+\frac{2}{a - 1}$，即$x - 1+\frac{2}{x - 1}=a - 1+\frac{2}{a - 1}$，则$x - 1=a - 1$或$x - 1=\frac{2}{a - 1}$，解得$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{2}{a - 1}+1=\frac{a + 1}{a - 1}$。

13.（1）实数m满足$\frac{1}{m - 4}+\frac{4}{m - 1}=\frac{2}{m - 3}+\frac{3}{m - 2}$这个等式，则m的值为_______.

(1)5或$\frac{5}{2}$ 解析：原等式化为$\frac{1}{m - 4}-\frac{3}{m - 2}=\frac{2}{m - 3}-\frac{4}{m - 1}$，整理得$\frac{-2m + 10}{m^{2}-6m + 8}=\frac{-2m + 10}{m^{2}-4m + 3}$，若使等式两边相等，需分两种情况讨论。①当分子都为0时，即$-2m + 10 = 0$，解得$m = 5$，经检验知$m = 5$是原方程的解。②当分母相等时，即$m^{2}-6m + 8=m^{2}-4m + 3$，解得$m=\frac{5}{2}$。把$m=\frac{5}{2}$代入原方程检验知$m=\frac{5}{2}$是原方程的解。故$m = 5$或$m=\frac{5}{2}$。

（2）实数a、b满足$ab\neq0$，且使得$\frac{a}{1 + a}+\frac{b}{1 + b}=\frac{a + b}{1 + a + b}$，则$a + b$的值为_______.

(2)$-2$ 解析：$\because\frac{a}{1 + a}+\frac{b}{1 + b}=\frac{a + b}{1 + a + b}=\frac{a}{1 + a + b}+\frac{b}{1 + a + b}$，$\therefore\frac{a}{1 + a}-\frac{a}{1 + a + b}=\frac{b}{1 + a + b}-\frac{b}{1 + b}$，$\therefore\frac{a(1 + a + b - 1 - a)}{(1 + a)(1 + a + b)}=\frac{b(1 + b - 1 - a - b)}{(1 + a + b)(1 + b)}$，$\therefore\frac{ab}{1 + a}=-\frac{ab}{1 + b}$。$\because ab\neq0$，$\therefore1 + a=-(1 + b)$，$\therefore a + b=-2$。

14. 新趋势 过程性学习 阅读下面材料，解答后面的问题.
解方程：$\frac{x - 1}{x}-\frac{4x}{x - 1}=0$.
解：设$y=\frac{x - 1}{x}$，则原方程化为$y-\frac{4}{y}=0$，
方程两边同时乘y得$y^{2}-4 = 0$，解得$y=\pm2$，
经检验，$y=\pm2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0$的解.
∴当$y = 2$时，$\frac{x - 1}{x}=2$，解得$x=-1$；
当$y=-2$时，$\frac{x - 1}{x}=-2$，解得$x=\frac{1}{3}$.
经检验，$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题：（1）解分式方程$\frac{x^{2}}{2x + 1}=\frac{4x + 2}{x^{2}}+1$，用$y=\frac{x^{2}}{2x + 1}$换元整理后得到的关于y的整式方程是_______.
（2）模仿上述换元法解方程：$\frac{x + 2}{x - 1}-\frac{4x - 4}{x + 2}=0$.

(1)$y^{2}-y - 2 = 0$
(2)$\frac{x + 2}{x - 1}-\frac{4x - 4}{x + 2}=0$，即$\frac{x + 2}{x - 1}-\frac{4(x - 1)}{x + 2}=0$。设$\frac{x + 2}{x - 1}=a$，则原方程化为$a-\frac{4}{a}=0$，方程两边同时乘$a$得$a^{2}-4 = 0$，解得$a=\pm2$，经检验，$a=\pm2$都是$a-\frac{2}{a}=0$的解。当$a = 2$时，$\frac{x + 2}{x - 1}=2$，解得$x = 4$。当$a=-2$时，$\frac{x + 2}{x - 1}=-2$，解得$x = 0$。经检验，$x = 4$或$x = 0$都是分式方程$\frac{x + 2}{x - 1}-\frac{4x - 4}{x + 2}=0$的解，$\therefore$分式方程的解为$x = 4$或$x = 0$。