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【变式】（2024·苏州吴江二模）若不论$x$取何值，分式$\frac{x}{x^{2}-2x + m}$总有意义，则$m$的取值范围是（ ）
A. $m\geq1$
B. $m＜1$
C. $m＞1$
D. $m\leq1$
A. $m\geq1$
B. $m＜1$
C. $m＞1$
D. $m\leq1$
答案
C.
典例3（2024·无锡宜兴二模）不改变分式的值，将分式$\frac{-0.2x - 1}{-0.3x + 0.5}$中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（ ）
A. $\frac{2x + 1}{3x - 5}$
B. $\frac{2x - 10}{3x + 5}$
C. $\frac{2x + 10}{3x + 5}$
D. $\frac{2x + 10}{3x - 5}$
A. $\frac{2x + 1}{3x - 5}$
B. $\frac{2x - 10}{3x + 5}$
C. $\frac{2x + 10}{3x + 5}$
D. $\frac{2x + 10}{3x - 5}$
答案
D.
【变式】不改变分式的值，将分式$\frac{1 - \frac{1}{3}a}{1 - a}$的分子与分母的最高次项的系数化为正整数，且都是最小的正整数，则所得结果为________.
答案
$\frac{a - 3}{3a - 3}$
典例4（2024·连云港）下面是某同学计算$\frac{1}{m - 1} - \frac{2}{m^{2}-1}$的解题过程：
解：$\frac{1}{m - 1} - \frac{2}{m^{2}-1}$
$=\frac{m + 1}{(m + 1)(m - 1)} - \frac{2}{(m + 1)(m - 1)}\cdots\cdots①$
$=(m + 1) - 2\cdots\cdots②$
$=m - 1\cdots\cdots③$
该同学的解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.
解：$\frac{1}{m - 1} - \frac{2}{m^{2}-1}$
$=\frac{m + 1}{(m + 1)(m - 1)} - \frac{2}{(m + 1)(m - 1)}\cdots\cdots①$
$=(m + 1) - 2\cdots\cdots②$
$=m - 1\cdots\cdots③$
该同学的解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.
答案
从第②步开始出现错误. 正确的解题过程如下: 原式 = $\frac{m + 1 - 2}{(m + 1)(m - 1)}=\frac{m - 1}{(m + 1)(m - 1)}=\frac{1}{m + 1}$.
典例5（2023·镇江）化简：$(1 - \frac{2}{a}) \div \frac{a^{2}-4}{a}$.
答案
原式 = $\frac{a - 2}{a}\cdot\frac{a}{(a + 2)(a - 2)}=\frac{1}{a + 2}$.
典例6（2024·常州溧阳一模）若$a＞0$，$b＞0$，且$a^{2}-b^{2}=4ab$，则$\frac{a + 2b}{a - 2b}$的值为________.
答案
$\because a^{2}-b^{2}=4ab,\therefore a^{2}-4ab = b^{2}.\therefore (a - 2b)^{2}=5b^{2}.\therefore a=(2\pm\sqrt{5})b.\because a＞0,b＞0,\therefore a=(2 + \sqrt{5})b.\therefore \frac{a + 2b}{a - 2b}=\frac{(2+\sqrt{5})b + 2b}{(2+\sqrt{5})b - 2b}=\frac{4\sqrt{5}+5}{5}$.
典例7（2024·宿迁泗阳三模）先化简，再求值：$(\frac{a^{2}-2a + 4}{a - 1}-a + 2) \div \frac{a^{2}+4a + 4}{1 - a}$，其中$a$满足$a^{2}-4a=-3$.
答案
原式 = $(\frac{a^{2}-2a + 4}{a - 1}-\frac{a^{2}-3a + 2}{a - 1})\cdot\frac{1 - a}{(a + 2)^{2}}=\frac{a + 2}{a - 1}\cdot\frac{1 - a}{(a + 2)^{2}}=-\frac{1}{a + 2}$. 解方程 $a^{2}-4a=-3$, 得 $a_{1}=1,a_{2}=3.\because a - 1\neq0,\therefore a\neq1.\therefore$ 当 $a = 3$ 时, 原式 = $-\frac{1}{3 + 2}=-\frac{1}{5}$.
【变式】（2024·扬州二模）先化简$\frac{a}{a^{2}-9} \div (1 + \frac{3}{a - 3})$，再从$-3$，$0$，$3$，$-\frac{7}{2}$中选择一个适当的数作为$a$的值代入求值.
答案
原式 = $\frac{a}{(a + 3)(a - 3)}\div\frac{a - 3 + 3}{a - 3}=\frac{a}{(a + 3)(a - 3)}\div\frac{a}{a - 3}=\frac{a}{(a + 3)(a - 3)}\cdot\frac{a - 3}{a}=\frac{1}{a + 3}.\because a^{2}-9\neq0$ 且 $a\neq0$, $\therefore a$ 不能为 $3,-3$ 和 $0.\therefore$ 当 $a = -\frac{7}{2}$ 时, 原式 = $-2$.
