15. (2022·遂宁中考)如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)求证:△ABD∽△DCP;
(3)若AB= 6,AC= 8,求点O到AD的距离.
![img alt=第15题]
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)求证:△ABD∽△DCP;
(3)若AB= 6,AC= 8,求点O到AD的距离.
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答案
16. 改编题 阅读材料,回答问题.
托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.
如图①,四边形ABCD内接于⊙O.求证:AB·CD+BC·AD= AC·BD.
![img alt=第16题]
证明:如图②,作∠BAE= ∠CAD,交BD于点E.∵$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{AD}$,∴∠ABE= ∠ACD,∴△ABE∽△ACD,∴$\frac{AB}{AC}= \frac{BE}{CD}$,∴AB·CD= AC·BE……
(1)将上述证明过程补充完成.
(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时,托勒密定理就是我们熟知的______定理.
(3)如图③,四边形ABCD内接于⊙O,AB= 3,AD= 5,∠BAD= 60°,点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,求AC的长.
(4)如图④,四边形ABCD内接于⊙O,BD平分∠ABC,∠COD= 120°,求证:BD= AB+BC.
![img alt=第16题]
托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.
如图①,四边形ABCD内接于⊙O.求证:AB·CD+BC·AD= AC·BD.
![img alt=第16题]
证明:如图②,作∠BAE= ∠CAD,交BD于点E.∵$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{AD}$,∴∠ABE= ∠ACD,∴△ABE∽△ACD,∴$\frac{AB}{AC}= \frac{BE}{CD}$,∴AB·CD= AC·BE……(1)将上述证明过程补充完成.
(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时,托勒密定理就是我们熟知的______定理.
(3)如图③,四边形ABCD内接于⊙O,AB= 3,AD= 5,∠BAD= 60°,点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,求AC的长.
(4)如图④,四边形ABCD内接于⊙O,BD平分∠ABC,∠COD= 120°,求证:BD= AB+BC.
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