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15[2024 武汉模拟]下列运算正确的是(
A.$a^{6}÷a^{2}=a^{3}$
B.$2a^{-2}=\frac{1}{4a^{2}}$
C.$2024^{0}=2024$
D.$(a^{2}b)^{3}=a^{6}b^{3}$
D
)A.$a^{6}÷a^{2}=a^{3}$
B.$2a^{-2}=\frac{1}{4a^{2}}$
C.$2024^{0}=2024$
D.$(a^{2}b)^{3}=a^{6}b^{3}$
答案
15 D $a^{6}÷ a^{2}=a^{4}$，A项不符合题意；$2a^{-2}=\frac{2}{a^{2}}$，B项不符合题意；$2024^{0}=1$，C项不符合题意。
16计算 $x^{5m + 3n + 1}÷(x^{n})^{2}·( - x^{m})^{2}$ 的结果是(
A.$-x^{7m + n + 1}$
B.$x^{7m - n + 1}$
C.$x^{7m + n + 1}$
D.$x^{3m + n + 1}$
C
)A.$-x^{7m + n + 1}$
B.$x^{7m - n + 1}$
C.$x^{7m + n + 1}$
D.$x^{3m + n + 1}$
答案
16 C $x^{5m + 3n + 1}÷ (x^{n})^{2}· (-x^{m})^{2}=x^{5m + 3n + 1}÷ x^{2n}· x^{2m}=x^{5m + 3n + 1 - 2n + 2m}=x^{7m + n + 1}$。
17[2024 怀化鹤城区模拟]若 $a = (\frac{1}{2})^{2}$，$b = - 5^{-2}$，$c = (π - 5)^{0}$，$d = ( - \frac{1}{2})^{-2}$，则 $a$，$b$，$c$，$d$ 的大小关系为(
A.$d ＞ c ＞ a ＞ b$
B.$d ＞ a ＞ c ＞ b$
C.$a ＞ b ＞ c ＞ d$
D.$c ＞ b ＞ a ＞ d$
A
)A.$d ＞ c ＞ a ＞ b$
B.$d ＞ a ＞ c ＞ b$
C.$a ＞ b ＞ c ＞ d$
D.$c ＞ b ＞ a ＞ d$
答案
17 A 因为$a = (\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，$b=-5^{-2}=-\frac{1}{25}$，$c = (π - 5)^{0}=1$，$d = (-\frac{1}{2})^{-2}=4$，所以$d＞ c＞ a＞ b$。
18教材 P11T18 变式 王老师有一个实际容量为 $1.8 GB(1 GB = 2^{20} KB)$ 的 U 盘，里面有课件，照片，音乐三个文件夹，已知课件文件夹占用了 $0.8 GB$ 的内存，照片文件夹内有 $32$ 张大小都是 $2^{11} KB$ 的旅行照片，音乐文件夹内有若干首大小都是 $2^{15} KB$ 的音乐。若该 U 盘内存容量恰好被用完，则音乐文件夹内有音乐(
A.28 首
B.30 首
C.32 首
D.34 首
B
)A.28 首
B.30 首
C.32 首
D.34 首
答案
18 B $(1.8 - 0.8)× 2^{20}=2^{20}(KB)$，$32× 2^{11}=2^{5}× 2^{11}=2^{16}(KB)$，$(2^{20}-2^{16})÷ 2^{15}=2^{5}-2 = 30$（首）。
19[2024 广元中考]2023 年 10 月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”。什么是阿秒？1 阿秒是 $10^{-18}$ 秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一。目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是 $43$ 阿秒，将 $43$ 阿秒用科学记数法表示为
$4.3× 10^{-17}$
秒。答案
19 $4.3× 10^{-17}$ 因为1阿秒是$10^{-18}$秒，所以43阿秒$=43× 10^{-18}$秒$=4.3× 10^{-17}$秒。
20先化简，再求值：$(2x - y)^{13}÷[(2x - y)^{3}]^{2}÷[(y - 2x)^{2}]^{3}$，其中 $x = 2$，$y = - 1$。
答案
20 解：$(2x - y)^{13}÷ [(2x - y)^{3}]^{2}÷ [(y - 2x)^{2}]^{3}$
$=(2x - y)^{13}÷ (2x - y)^{6}÷ (2x - y)^{6}$
$=(2x - y)^{13 - 6 - 6}$
$=2x - y$。
当$x = 2$，$y = -1$时，原式$=2× 2-(-1)=5$。
$=(2x - y)^{13}÷ (2x - y)^{6}÷ (2x - y)^{6}$
$=(2x - y)^{13 - 6 - 6}$
$=2x - y$。
当$x = 2$，$y = -1$时，原式$=2× 2-(-1)=5$。
21[2023 大庆中考改编]小明做了这样一道题：若 $(a - 1)^{a + 3}=1$，求 $a$ 的值。
他的解答过程如下：
解：因为 $1$ 的任何次幂都为 $1$，
所以 $a - 1 = 1$，解得 $a = 2$。
老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？请写出完整的解答过程。
他的解答过程如下：
解：因为 $1$ 的任何次幂都为 $1$，
所以 $a - 1 = 1$，解得 $a = 2$。
老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？请写出完整的解答过程。
答案
21 解：若$a + 3 = 0$，则$a=-3$，
此时$(a - 1)^{a + 3}=(-4)^{0}=1$；
若$a - 1 = 1$，则$a = 2$，
此时$(a - 1)^{a + 3}=(2 - 1)^{2 + 3}=1^{5}=1$；
若$a - 1=-1$，则$a = 0$，
此时$(a - 1)^{a + 3}=(-1)^{3}=-1$，不成立。
综上所述，$a$的值为$-3$或2。
此时$(a - 1)^{a + 3}=(-4)^{0}=1$；
若$a - 1 = 1$，则$a = 2$，
此时$(a - 1)^{a + 3}=(2 - 1)^{2 + 3}=1^{5}=1$；
若$a - 1=-1$，则$a = 0$，
此时$(a - 1)^{a + 3}=(-1)^{3}=-1$，不成立。
综上所述，$a$的值为$-3$或2。
22[2025 上饶期末]已知 $3^{a}=2$，$3^{b}=6$，$3^{c}=8$。
(1)求 $2a + b - c$ 的值；
(2)求 $4^{a}·2^{b + 1}÷2^{c}$ 的值。
(1)求 $2a + b - c$ 的值；
(2)求 $4^{a}·2^{b + 1}÷2^{c}$ 的值。
答案
22 解：（1）因为$3^{a}=2$，所以$(3^{a})^{2}=4$，即$3^{2a}=4$，
又因为$3^{b}=6$，$3^{c}=8$，所以$3^{2a}· 3^{b}÷ 3^{c}=4× 6÷ 8 = 3$，
所以$3^{2a + b - c}=3$，所以$2a + b - c = 1$。
（2）由（1）知$2a + b - c = 1$，
所以$4^{a}· 2^{b + 1}÷ 2^{c}=(2^{2})^{a}· 2^{b + 1}÷ 2^{c}=2^{2a}· 2^{b + 1}÷ 2^{c}=2^{2a + b + 1 - c}=2^{1 + 1}=2^{2}=4$。
又因为$3^{b}=6$，$3^{c}=8$，所以$3^{2a}· 3^{b}÷ 3^{c}=4× 6÷ 8 = 3$，
所以$3^{2a + b - c}=3$，所以$2a + b - c = 1$。
（2）由（1）知$2a + b - c = 1$，
所以$4^{a}· 2^{b + 1}÷ 2^{c}=(2^{2})^{a}· 2^{b + 1}÷ 2^{c}=2^{2a}· 2^{b + 1}÷ 2^{c}=2^{2a + b + 1 - c}=2^{1 + 1}=2^{2}=4$。
