9.（2024·包头中考改编）如图，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AB = 3，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE.若CE = AF，则DE的长为________。
　　 　　

$\sqrt{7}$ 解析：如图，过 D 作 DH⊥AC 于 H.
∵ 在菱形 ABCD 中，∠ABC = 60°，AB = 3，
∴ AB = BC = CD = AD，∠ADC = ∠ABC = 60°，∴ △ABC、△ACD 都是等边三角形，
∴ ∠EAF = 60°，AC = AB = 3，AH = CH = $\frac{1}{2}AC = \frac{3}{2}$. ∵ EF⊥AB，∴ ∠AEF = 30°，
∴ AE = 2AF. 又 CE = AF，∴ AE = 2CE，∴ CE = 1，∴ HE = CH - CE = $\frac{1}{2}$，在 Rt△CDH 中，$DH^{2}=CD^{2}-CH^{2}=\frac{27}{4}$，∴ $DE = \sqrt{DH^{2}+HE^{2}}=\sqrt{7}$.

10. 如图，在菱形ABCD中，AC = 8，BD = 6，M是AB边上的中点，P是AC边上的动点。
（1）（内江中考改编）若点N是BC边上的中点，连接PM、PN，则PM + PN的最小值是________。
（2）（贵港中考改编）若点N是BC边上的动点，连接PM、PN，则PM + PN的最小值是________。

(1) 5 解析：如图①，作点 M 关于 AC 的对称点 M'，连接 NM'，交 AC 于点 P，连接 MP，此时 PM + PN 的值最小. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，∠M'AP = ∠MAP，即 M'在 AD 上. ∵ AC⊥BD，
∴ BD//MM'. ∵ M 为 AB 的中点，∴ M'为 AD 的中点. ∵ N 为 CB 的中点，四边形 ABCD 是菱形，∴ AM'//BC，AM' = BN，∴ 四边形 AM'NB 是平行四边形，∴ NM' = AB. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ $BP = \frac{1}{2}BD = 3$，$AP = \frac{1}{2}AC = 4$. 在 Rt△APB 中，由勾股定理得 AB = 5，即 NM' = 5.
∴ MP + NP = M'P + NP = M'N = 5，即 PM + PN 的最小值是 5.

(2) $\frac{24}{5}$ 解析：如图②，作点 M 关于 AC 的对称点 M'，过点 M'作 M'N⊥BC 于点 N，交 AC 于点 P，连接 PM，则此时 PM + PN 取得最小值，即 PM + PN = PM' + PN = M'N. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ 点 M'在 AD 上. ∵ AC = 8，BD = 6，∴ AB = 5. 由 $S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD = BC\cdot M'N$ 得 $\frac{1}{2}\times8\times6 = 5\cdot M'N$，解得 $M'N = \frac{24}{5}$，即 PM + PN 的最小值是 $\frac{24}{5}$.

11. 如图，在菱形ABCD中，AB = 2，∠DAB = 60°，E是AD的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD、AN。
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形。
（2）当AM为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　

(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ ND//AM，∴ ∠NDE = ∠MAE，∠DNE = ∠AME. ∵ E 是 AD 的中点，∴ DE = AE. 在 △NDE 和 △MAE 中，$\begin{cases} \angle NDE = \angle MAE \\ \angle DNE = \angle AME \\ DE = AE \end{cases}$，∴ △NDE≌△MAE(AAS)，∴ ND = MA，∴ 四边形 AMDN 是平行四边形.
(2) 当 AM = 1 时，四边形 AMDN 是矩形. 理由如下：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AD = AB = 2. 要使得平行四边形 AMDN 是矩形，则 DM⊥AB，即 ∠DMA = 90°. ∵ ∠DAB = 60°，∴ ∠ADM = 30°，∴ $AM = \frac{1}{2}AD = 1$.

12.（2024·浙江中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，$\frac{AC}{BD}=\frac{5}{3}。$线段AB与A'B'关于过点O的直线l对称，点B的对应点B'在线段OC上，A'B'交CD于点E，则△B'CE与四边形OB'ED的面积比为________。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　

1 : 3 解析：∵ 四边形 ABCD 是菱形，$\frac{AC}{BD}=\frac{5}{3}$，∴ 设 AC = 10a，BD = 6a，∴ $OA = OC = \frac{1}{2}AC = 5a$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD = 3a$，如图所示，
连接 A'D、OE，设直线 l 交 BC 于点 F，交 AD 于点 G. ∵ 线段 AB 与 A'B'关于过点 O 的直线 l 对称，点 B 的对应点 B'在线段 OC 上，
∴ $\angle BOF = \angle COF = \frac{1}{2}\angle BOB' = 45°$，$AO = A'O = 5a$，$OB' = OB = 3a$，
∴ $\angle AOG = \angle DOG = 45°$，∴ 点 A'、D、O 三点共线，∴ $A'D = A'O - OD = 2a$，$B'C = OC - OB' = 2a$，∴ $\frac{S_{\triangle CEB'}}{S_{\triangle OEB'}}=\frac{B'C}{OB'}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}$，∴ A'D = B'C.
∵ CD//AB，∴ ∠CDO = ∠ABO，由对称可得 ∠A'B'O = ∠ABO，
∴ ∠A'B'O = ∠CDO，∴ ∠A'DE = ∠CB'E. 又 ∵ ∠A'ED = ∠CEB'，
∴ △A'ED≌△CEB'(AAS)，∴ DE = B'E. 又 ∵ OD = OB'，OE = OE，
∴ △ODE≌△OB'E(SSS)，∴ $S_{\triangle ODE}=S_{\triangle OB'E}$，∴ $\frac{S_{\triangle CEB'}}{S_{四边形OB'ED}}=\frac{S_{\triangle CEB'}}{S_{\triangle OEB'}+S_{\triangle ODE}}=\frac{2}{3 + 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. ∴ 面积比为 1 : 3.

13. 如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC。
（1）如图①，探究PG与PC的位置关系，写出你的猜想并加以证明；
（2）如图①，若PG = PC，求∠PGF的度数；
（3）如图②，将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，若∠ABC = ∠BEF = 60°，请直接写出PG与PC的数量关系。
　　　

(1) 线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC. 证明如下：如图①，延长 GP 交 DC 于点 H. ∵ P 是线段 DF 的中点，∴ FP = DP. 由题意可知 DC//GF，∴ ∠GFP = ∠HDP. ∵ ∠GPF = ∠HPD，∴ △GFP≌△HDP，
∴ GP = HP，GF = HD = GB. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ CD = CB，
∴ CG = CH，∴ △CHG 是等腰三角形，∴ PG⊥PC(三线合一).

(2) 由(1)得 △CHG 是等腰三角形，PG⊥PC. ∵ PG = PC，∴ ∠PGC = ∠PCG = 45°，∴ ∠DCB = 2∠PCG = 90°. ∵ DC//GF，∴ ∠CGF = ∠DCB = 90°，∴ ∠PGF = ∠PGC + ∠CGF = 135°.
(3) $PG = \sqrt{3}PC$. 解析：如图②，延长 GP 到 H，使 PH = PG，连接 CH、CG、DH. ∵ P 是线段 DF 的中点，∴ FP = DP. ∵ ∠GPF = ∠HPD，
∴ △GFP≌△HDP，∴ GF = HD，∠GFP = ∠HDP. ∵ ∠GFP + ∠PFE = 120°，∠PFE = ∠PDC，∴ ∠CDH = ∠HDP + ∠PDC = 120°. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ CD = CB，∠ADC = ∠ABC = 60°. ∵ 点 A、B、G 在同一条直线上，∴ ∠GBC = 120°. ∵ 四边形 BEFG 是菱形，∴ GF = GB，
∴ HD = GB，∴ △HDC≌△GBC，∴ CH = CG，∠DCH = ∠BCG，
∴ ∠DCH + ∠HCB = ∠BCG + ∠HCB = 120°，即 ∠HCG = 120°. ∵ CH = CG，PH = PG，∴ PG⊥PC，∠GCP = ∠HCP = 60°，∴ ∠PGC = 30°，
∴ CG = 2PC，∴ 由勾股定理可得 $PG = \sqrt{3}PC$.