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1. (2024·连云港)下列运算结果等于$a^{6}$的是 （ ）
A. $a^{3}+a^{3}$
B. $a\cdot a^{6}$
C. $a^{8}\div a^{2}$
D. $(-a^{2})^{3}$
A. $a^{3}+a^{3}$
B. $a\cdot a^{6}$
C. $a^{8}\div a^{2}$
D. $(-a^{2})^{3}$
答案
C
2. (2023·泰州靖江一模)若单项式$2x^{m}y^{2}$与$-3x^{3}y^{n}$是同类项，则$m^{n}$的值为 （ ）
A. 9
B. 8
C. 6
D. 5
A. 9
B. 8
C. 6
D. 5
答案
A
3. (2024·扬州仪征二模)已知$a$，$b$是两个不相等的正数，在交换$a$与$b$的位置后，下列代数式的值保持不变的是 （ ）
A. $(a - b)^{2}$
B. $a^{2}-b^{2}$
C. $\sqrt{a}-\sqrt{b}$
D. $\frac{a}{b}$
A. $(a - b)^{2}$
B. $a^{2}-b^{2}$
C. $\sqrt{a}-\sqrt{b}$
D. $\frac{a}{b}$
答案
A
4. (2024·无锡梁溪一模)下列多项式中，不能因式分解的是 （ ）
A. $x^{2}-2x + 1$
B. $x^{2}-9$
C. $x^{2}+1$
D. $6x^{2}+3x$
A. $x^{2}-2x + 1$
B. $x^{2}-9$
C. $x^{2}+1$
D. $6x^{2}+3x$
答案
C
5. 计算：
(1) (2024·苏州)$x^{3}\cdot x^{2}=$_______；
(2) (2024·无锡新吴一模)$2a^{2}\cdot a^{4}-(a^{3})^{2}=$_______；
(3) (2024·宿迁泗阳二模)已知$a^{m + n}=12$，$a^{n}=4$，则$a^{m}$的值为_______.
(1) (2024·苏州)$x^{3}\cdot x^{2}=$_______；
(2) (2024·无锡新吴一模)$2a^{2}\cdot a^{4}-(a^{3})^{2}=$_______；
(3) (2024·宿迁泗阳二模)已知$a^{m + n}=12$，$a^{n}=4$，则$a^{m}$的值为_______.
答案
(1) $x^{5}$ (2) $a^{6}$ (3) 3
6. (1) (2023·淮安)若$a + 2b - 1 = 0$，则$3a + 6b$的值是_________；
(2) (2024·苏州)若$a = b + 2$，则$(b - a)^{2}$的值为_______；
(3) (2024·南京三模)若$a^{2}-b^{2}-3 = 0$，则$(a + b)^{2}-2b(a + b)$的值为_______.
(2) (2024·苏州)若$a = b + 2$，则$(b - a)^{2}$的值为_______；
(3) (2024·南京三模)若$a^{2}-b^{2}-3 = 0$，则$(a + b)^{2}-2b(a + b)$的值为_______.
答案
(1) 3 (2) 4 (3) 3
7. 分解因式：
(1) (2023·宿迁)$x^{2}-2x=$_______；
(2) (2023·扬州)$xy^{2}-4x=$_______；
(3) (2023·南京)$3a^{2}-6a + 3=$_______.
(1) (2023·宿迁)$x^{2}-2x=$_______；
(2) (2023·扬州)$xy^{2}-4x=$_______；
(3) (2023·南京)$3a^{2}-6a + 3=$_______.
答案
(1) $x(x - 2)$ (2) $x(y + 2)(y - 2)$ (3) $3(a - 1)^{2}$
8. 如图①所示为一个长为$2a$，宽为$2b$的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四个全等的小长方形，然后按照如图②所示的方法拼成一个面积为49的大正方形. 若中间小正方形的面积为1，则$a =$_______，$b =$_______.
答案
4 3
9. (2024·南京建邺二模)先化简，再求值：$(x - y)(x + 2y)-(x - y)^{2}$，其中$x = -1$，$y=\frac{1}{2}$.
答案
原式$=x^{2}+2xy - xy - 2y^{2}-(x^{2}-2xy + y^{2})=x^{2}+2xy - xy - 2y^{2}-x^{2}+2xy - y^{2}=3xy - 3y^{2}$. 当$x = -1$, $y = \frac{1}{2}$时, 原式$=3\times(-1)\times\frac{1}{2}-3\times(\frac{1}{2})^{2}=-\frac{9}{4}$
10. (2024·连云港灌南二模)观察下列等式：
第1个等式：$\frac{4 + 3}{2}-1=\frac{5}{2}$；
第2个等式：$\frac{9 + 4}{3}-2=\frac{7}{3}$；
第3个等式：$\frac{16 + 5}{4}-3=\frac{9}{4}$；
第4个等式：$\frac{25 + 6}{5}-4=\frac{11}{5}$；
(1) 根据上述规律，请写出第5个等式：______________；
(2) 请猜想出满足上述规律的第$n$个等式，并证明.
第1个等式：$\frac{4 + 3}{2}-1=\frac{5}{2}$；
第2个等式：$\frac{9 + 4}{3}-2=\frac{7}{3}$；
第3个等式：$\frac{16 + 5}{4}-3=\frac{9}{4}$；
第4个等式：$\frac{25 + 6}{5}-4=\frac{11}{5}$；
(1) 根据上述规律，请写出第5个等式：______________；
(2) 请猜想出满足上述规律的第$n$个等式，并证明.
答案
(1) $\frac{36 + 7}{6}-5=\frac{13}{6}$ (2) 猜想第$n$个等式为$\frac{(n + 1)^{2}+n + 2}{n + 1}-n=\frac{2n + 3}{n + 1}$ 证明: $\because$ 左边$=\frac{(n + 1)^{2}+n + 2}{n + 1}-\frac{n(n + 1)}{n + 1}=\frac{n^{2}+2n + 1+n + 2}{n + 1}-\frac{n^{2}+n}{n + 1}=\frac{2n + 3}{n + 1}$ $\therefore$ 左边 = 右边. $\therefore$ 等式成立
