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（4）（2024·盐城亭湖一模）若$\underbrace{a^{n}+a^{n}+\cdots +a^{n}}_{a个a^{n}}=a^{10}$(a为大于1的整数)，则n的值是________.
答案
(4) 9.
【变式】（2024·无锡江阴一模）下列运算正确的是（ ）
A. $(-2a^{3}b)^{2}=4a^{5}b^{2}$
B. $a^{8}\div a^{4}=a^{2}$
C. $(a - b)^{2}=a^{2}-b^{2}$
D. $2a^{2}b - a^{2}b=a^{2}b$
A. $(-2a^{3}b)^{2}=4a^{5}b^{2}$
B. $a^{8}\div a^{4}=a^{2}$
C. $(a - b)^{2}=a^{2}-b^{2}$
D. $2a^{2}b - a^{2}b=a^{2}b$
答案
[变式] D.
典例7（1）（2023·无锡）当$a = 2，b = - 3$时，代数式$(a - b)^{2}+2ab$的值为（ ）
A. 13
B. 27
C. - 5
D. - 7
A. 13
B. 27
C. - 5
D. - 7
答案
(1) A.
（2）（2024·常州一模）已知当$x = 2$时，代数式$ax^{3}+bx + 1$的值为6，则当$x = - 2$时，这个代数式的值是（ ）
A. 1
B. - 4
C. 6
D. - 5
A. 1
B. - 4
C. 6
D. - 5
答案
(2) B.
典例8（1）（2024·无锡模拟）化简：$a^{2}(a + 1)^{2}-2(a^{2}-2a + 4)$；
答案
(1) 原式$=a^{2}(a^{2}+2a + 1)-2a^{2}+4a - 8=a^{4}+2a^{3}+a^{2}-2a^{2}+4a - 8=a^{4}+2a^{3}-a^{2}+4a - 8$.
（2）（2023·盐城）先化简，再求值：$(a + 3b)^{2}+(a + 3b)(a - 3b)$，其中$a = 2，b = - 1$.
答案
(2) 原式$=a^{2}+6ab + 9b^{2}+a^{2}-9b^{2}=2a^{2}+6ab$. 当$a = 2$, $b = -1$时，原式$=2\times2^{2}+6\times2\times(-1)=8 - 12=-4$.
典例9 分解因式：
（1）（2023·镇江）$x^{2}+2x=$__________；
（1）（2023·镇江）$x^{2}+2x=$__________；
答案
(1) $x(x + 2)$.
（2）（2023·常州）$x^{2}y - 4y=$__________；
答案
(2) $y(x + 2)(x - 2)$.
（3）（2024·扬州）$2x^{2}-4x + 2=$________.
答案
(3) $2(x - 1)^{2}$.
典例10 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形. 现给出如图所示的3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是_______(填序号).
答案
①②.
典例11（2024·南京三模）观察下列等式：
第1个等式：$\frac{4}{1}-3=1-\frac{0}{1}$；
第2个等式：$\frac{16}{3}-5=1-\frac{2}{3}$；
第3个等式：$\frac{36}{5}-7=1-\frac{4}{5}$；
...
按照以上规律，解决下面的问题：
（1）写出第4个等式：______________；
（2）写出第n个等式(用含n的代数式表示)，并证明.
第1个等式：$\frac{4}{1}-3=1-\frac{0}{1}$；
第2个等式：$\frac{16}{3}-5=1-\frac{2}{3}$；
第3个等式：$\frac{36}{5}-7=1-\frac{4}{5}$；
...
按照以上规律，解决下面的问题：
（1）写出第4个等式：______________；
（2）写出第n个等式(用含n的代数式表示)，并证明.
答案
(1) $\frac{64}{7}-9 = 1-\frac{6}{7}$. (2) 第$n$个等式为$\frac{4n^{2}}{2n - 1}-(2n + 1)=1-\frac{2n - 2}{2n - 1}$. 证明：$\because$左边$=\frac{4n^{2}-(2n + 1)(2n - 1)}{2n - 1}=\frac{4n^{2}-4n^{2}+1}{2n - 1}=\frac{1}{2n - 1}$，右边$=\frac{2n - 1-(2n - 2)}{2n - 1}=\frac{2n - 1-2n + 2}{2n - 1}=\frac{1}{2n - 1}$，$\therefore$左边 = 右边. $\therefore$等式成立.
