典例6 如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，连接AN，交MC于点E，连接BM，交CN于点F，连接EF. 求证：
（1）AN = MB；
（2）△CEF为等边三角形.
　　　　　　　　　　　

典例6(1)∵△ACM，△CBN都是等边三角形，∴AC = MC，BC = NC，∠ACM = ∠NCB = 60°。∴∠ACM + ∠MCN = ∠NCB + ∠MCN，即∠ACN = ∠MCB。在△ACN和△MCB中，$\begin{cases}AC = MC, \\ \angle ACN = \angle MCB, \\ NC = BC,\end{cases}$ ∴△ACN ≌ △MCB (SAS)。∴AN = MB。(2) 由(1)知，△ACN ≌ △MCB，∴∠CAN = ∠CMB。又∵∠MCF = 180° - ∠ACM - ∠NCB = 180° - 60° - 60° = 60°，∴∠MCF = ∠ACE。在△CAE和△CMF中，$\begin{cases}\angle CAE = \angle CMF, \\ AC = MC, \\ \angle ACE = \angle MCF,\end{cases}$ ∴△CAE ≌ △CMF (ASA)。∴CE = CF。又∵∠ECF = 60°，∴△CEF为等边三角形。

典例7 如图，在△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD = 30°，AB = 3，则AC的长为（ ）
A. 2.5 B. 2
C. 1.8 D. 1.5
　　　　　　

如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E。∵AD⊥AC，∴∠E = ∠CAD = 90°。∵在△ABC中，AD为中线，∴BD = CD。又∵∠BDE = ∠CDA，∴△BDE ≌ △CDA (AAS)。∴BE = CA。又∵在Rt△BAE中，AB = 3，∠BAE = 30°，∴BE = $\frac{1}{2}$AB = 1.5。∴AC = 1.5。故选D。

典例8（2024·无锡新吴二模）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问：门广几何？”大意如下：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺 = 10寸），两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的宽度之和）AB为________寸.
　　　

如图，过点D作DE⊥AB于点E。设OA = OB = AD = BC = r寸，则DE = 10寸，OE = $\frac{1}{2}$CD = 1寸，AE = (r - 1)寸。在Rt△ADE中，AE² + DE² = AD²，即(r - 1)² + 10² = r²，解得2r = 101。∴门的宽度AB为101寸。

1.（2024·常州金坛二模）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长随四边形形状的变化而变化. 当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

B

2.（2024·常州溧阳一模）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为边AC的中点. 若AC=8，CD=5，则DE的长为____________.

3

3.（2024·泰州泰兴二模）如图，在△ABC中，CA=CB，直线EF分别交AB，AC和CB的延长线于点D，E，F. 若∠F=32°，∠CEF=100°，则∠A=__________°.

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4. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.

(1) ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A = ∠B = ∠ACB = 60°.
∵DE//AB，∴∠EDC = ∠B = 60°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF = 90°. ∴∠F = 90° - ∠EDF = 90° - 60° = 30°. (2) ∵∠F + ∠FEC = ∠ECD = 60°，∴∠F = ∠FEC = 30°. ∴CF = CE.
∵∠EDC = ∠ECD = ∠DEC = 60°，∴△EDC 是等边三角形.
∴CE = CD = 2. ∴CF = 2. ∴DF = CD + CF = 2 + 2 = 4