典例1（2024·宿迁二模）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A. 80°或50°
B. 80°
C. 50°
D. 50°或20°

典例1A.

典例2 如图，在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为______________.
　　　　　　

∵∠B = 50°，∠ACB = 90°，∴∠BAC = 40°。如图，有三种情形：①当AC = AD时，∠ACD = $\frac{1}{2}$×(180° - 40°) = 70°。②当CD' = AD'时，∠ACD' = ∠D'AC = 40°。③当AC = AD''时，∠ACD'' = ∠AD''C = $\frac{1}{2}$∠BAC = 20°。综上所述，∠ACD的度数为70°或40°或20°

【变式】如图，在△ABC中，AB = AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE = CF，BD = CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A = 40°时，求∠DEF的度数.
　　

[变式](1)∵AB = AC，∴∠ABC = ∠ACB。在△DBE和△ECF中，$\begin{cases}BE = CF, \\ \angle DBE = \angle ECF, \\ BD = CE,\end{cases}$ ∴△DBE ≌ △ECF (SAS)。∴DE = EF。∴△DEF是等腰三角形。(2) 如图。由(1)知，△DBE ≌ △ECF，∴∠1 = ∠3，∠2 = ∠4。∵AB = AC，∴∠B = ∠C。∵∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A = 40°，∴∠B = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = $\frac{1}{2}$(180° - 40°) = 70°。∴∠1 + ∠2 = 180° - ∠B = 180° - 70° = 110°。∴∠3 + ∠2 = 110°。∴∠DEF = 180° - (∠2 + ∠3) = 180° - 110° = 70°。

典例3（2024·镇江一模）如图，AB//CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，点G在CD上，GE = GF. 若∠1 = 65°，则∠2的度数为__________.
　　　　　　　

∵GE = GF，∴∠1 = ∠GFE。∵∠1 = 65°，∴∠GFE = 65°。∵AB//CD，∴∠2 = ∠GFE = 65°。

典例4（2023·苏州一模）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线分别交AB，AC于点M，N，且MN//BC. 求证：MN = BM + CN.
　　　　　　　　　　　　　

∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∴∠MBO = ∠OBC，∠OCN = ∠OCB。∵MN//BC，∴∠OBC = ∠MOB，∠NOC = ∠OCB。∴∠MBO = ∠MOB，∠NOC = ∠OCN。∴BM = MO，ON = CN。∴MN = MO + ON = BM + CN。

典例5（2024·淮安淮阴一模）已知直线a//b，将等边三角形ABC按如图所示的方式放置，点B在直线b上. 若∠2 = 132°，则∠1的度数为（ ）
A. 10° B. 12° C. 18° D. 30°
　　　　　　　　　

如图。∵∠2 = 132°，a//b，∴∠3 = ∠2 = 132°，∠3 + ∠4 = 180°。∴∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 132° = 48°。∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC = 60°。∴∠1 = ∠ABC - ∠4 = 60° - 48° = 12°。故选B。