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10[易错题] 等腰三角形的对称轴有 (
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.1 条或 3 条
D
)A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.1 条或 3 条
答案
10 D 若等腰三角形是等边三角形，则等腰三角形有 3 条对称轴；若等腰三角形是一般的等腰三角形，则等腰三角形有 1 条对称轴。
11[2025 邯郸期末] 如图，$ BD $ 是等边三角形 $ ABC $ 的边 $ AC $ 上的中线，以点 $ D $ 为圆心，$ DB $ 长为半径画弧交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $，则 $ ∠ BDE $ 等于 (
A.$ 120^{\circ} $
B.$ 110^{\circ} $
C.$ 100^{\circ} $
D.$ 140^{\circ} $
A
)A.$ 120^{\circ} $
B.$ 110^{\circ} $
C.$ 100^{\circ} $
D.$ 140^{\circ} $
答案
11 A 因为 $ BD $ 是等边三角形 $ ABC $ 的边 $ AC $ 上的中线，所以 $ ∠ DBC = \frac{1}{2} ∠ ABC = 30^{\circ} $。由题中作图可知，$ DB = DE $，所以 $ ∠ DEB = ∠ DBE = 30^{\circ} $，所以 $ ∠ BDE = 180^{\circ} - 2 × 30^{\circ} = 120^{\circ} $。
12[2025 天津河西区期末] 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ ∠ A = 40^{\circ} $，以点 $ B $ 为圆心，$ BC $ 长为半径作弧，交 $ AC $ 于点 $ D $，连接 $ BD $，则 $ ∠ ABD $ 的度数为 (
A.$ 10^{\circ} $
B.$ 20^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $
C
)A.$ 10^{\circ} $
B.$ 20^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $
D.$ 40^{\circ} $
答案
12 C 因为 $ AB = AC $，$ ∠ A = 40^{\circ} $，所以 $ ∠ ABC = ∠ ACB = \frac{1}{2} (180^{\circ} - ∠ A) = \frac{1}{2} (180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ} $，因为以 $ B $ 为圆心，$ BC $ 的长为半径画弧，交 $ AC $ 于点 $ D $，所以 $ BC = BD $，所以 $ ∠ CBD = 180^{\circ} - 2 ∠ ACB = 180^{\circ} - 2 × 70^{\circ} = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} $，所以 $ ∠ ABD = ∠ ABC - ∠ CBD = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ} $。
[变式] [2025 重庆江北区期中] 如图，在 $ △ ABC $ 中，若 $ AB = AC $，$ AD = BD $，$ ∠ CAD = 24^{\circ} $，则 $ ∠ C $ 的度数为 (
A.$ 45^{\circ} $
B.$ 50^{\circ} $
C.$ 52^{\circ} $
D.$ 55^{\circ} $
C
)A.$ 45^{\circ} $
B.$ 50^{\circ} $
C.$ 52^{\circ} $
D.$ 55^{\circ} $
答案
变式 C 设 $ ∠ C = x $，因为 $ AB = AC $，$ AD = BD $，所以 $ ∠ BAD = ∠ B = ∠ C = x $，又因为 $ ∠ CAD = 24^{\circ} $，$ ∠ C + ∠ B + ∠ BAC = 180^{\circ} $，所以 $ x + x + x + 24^{\circ} = 180^{\circ} $，解得 $ x = 52^{\circ} $，即 $ ∠ C = 52^{\circ} $。
13 [2025 赣州期末] 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AD $ 为 $ △ ABC $ 的角平分线，以点 $ A $ 为圆心，$ AD $ 长为半径画弧，与 $ AB $，$ AC $ 分别交于点 $ E $，$ F $，连接 $ DE $，$ DF $。
(1)试说明：$ DE = DF $。
(2)若 $ ∠ BAC = 80^{\circ} $，则 $ ∠ CDF $ 的度数为
(1)试说明：$ DE = DF $。
(2)若 $ ∠ BAC = 80^{\circ} $，则 $ ∠ CDF $ 的度数为
$ 20^{\circ} $
。答案
13 解：(1)由题中作图可知，$ AD = AE = AF $，
因为 $ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，所以 $ ∠ EAD = ∠ FAD $。
在 $ △ ADE $ 和 $ △ ADF $ 中，$ \begin{cases} AE = AF, \\ ∠ EAD = ∠ FAD, \\ AD = AD, \end{cases} $
所以 $ △ ADE ≌ △ ADF (\mathrm{SAS}) $，所以 $ DE = DF $。
(2)$ 20^{\circ} $
因为 $ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，$ ∠ BAC = 80^{\circ} $，所以 $ ∠ DAC = \frac{1}{2} ∠ BAC = 40^{\circ} $，又因为 $ AD = AF $，所以 $ ∠ ADF = ∠ AFD = \frac{1}{2} (180^{\circ} - ∠ DAC) = 70^{\circ} $。因为 $ AB = AC $，$ AD $ 为 $ △ ABC $ 的角平分线，所以 $ AD ⊥ BC $，所以 $ ∠ ADC = 90^{\circ} $，所以 $ ∠ CDF = ∠ ADC - ∠ ADF = 20^{\circ} $。
因为 $ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，所以 $ ∠ EAD = ∠ FAD $。
在 $ △ ADE $ 和 $ △ ADF $ 中，$ \begin{cases} AE = AF, \\ ∠ EAD = ∠ FAD, \\ AD = AD, \end{cases} $
所以 $ △ ADE ≌ △ ADF (\mathrm{SAS}) $，所以 $ DE = DF $。
(2)$ 20^{\circ} $
因为 $ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，$ ∠ BAC = 80^{\circ} $，所以 $ ∠ DAC = \frac{1}{2} ∠ BAC = 40^{\circ} $，又因为 $ AD = AF $，所以 $ ∠ ADF = ∠ AFD = \frac{1}{2} (180^{\circ} - ∠ DAC) = 70^{\circ} $。因为 $ AB = AC $，$ AD $ 为 $ △ ABC $ 的角平分线，所以 $ AD ⊥ BC $，所以 $ ∠ ADC = 90^{\circ} $，所以 $ ∠ CDF = ∠ ADC - ∠ ADF = 20^{\circ} $。
14 [2024 上海普陀区期末] 如图，在等边三角形 $ ABC $ 的边 $ AC $ 上任取一点 $ D $，以 $ CD $ 为边向外作等边三角形 $ CDE $，连接 $ BD $，$ AE $。
（1）试说明：$ △ BCD ≌ △ ACE $。
（2）试说明：$ ∠ ABD = ∠ AED $。
（1）试说明：$ △ BCD ≌ △ ACE $。
（2）试说明：$ ∠ ABD = ∠ AED $。
答案
14 解：(1)因为 $ △ ABC $ 和 $ △ CDE $ 都是等边三角形，
所以 $ BC = AC $，$ DC = EC $，$ ∠ BCD = ∠ DCE = 60^{\circ} $，
所以 $ △ BCD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}) $。
(2)由(1)知 $ △ BCD ≌ △ ACE $，所以 $ ∠ BDC = ∠ AEC $。
因为 $ ∠ BDC = 180^{\circ} - ∠ ADB = ∠ BAC + ∠ ABD $，$ ∠ AEC = ∠ DEC + ∠ AED $，
所以 $ ∠ BAC + ∠ ABD = ∠ DEC + ∠ AED $。
因为 $ △ ABC $ 和 $ △ CDE $ 都是等边三角形，
所以 $ ∠ BAC = ∠ DEC = 60^{\circ} $，
所以 $ ∠ ABD = ∠ AED $。
所以 $ BC = AC $，$ DC = EC $，$ ∠ BCD = ∠ DCE = 60^{\circ} $，
所以 $ △ BCD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}) $。
(2)由(1)知 $ △ BCD ≌ △ ACE $，所以 $ ∠ BDC = ∠ AEC $。
因为 $ ∠ BDC = 180^{\circ} - ∠ ADB = ∠ BAC + ∠ ABD $，$ ∠ AEC = ∠ DEC + ∠ AED $，
所以 $ ∠ BAC + ∠ ABD = ∠ DEC + ∠ AED $。
因为 $ △ ABC $ 和 $ △ CDE $ 都是等边三角形，
所以 $ ∠ BAC = ∠ DEC = 60^{\circ} $，
所以 $ ∠ ABD = ∠ AED $。
15[推理能力] [2024 牡丹江期末] 已知：$ AB ⊥ l $ 于点 $ B $，点 $ D $ 在直线 $ l $ 上，分别以 $ AB $，$ AD $ 为边作等边三角形 $ ABC $ 和等边三角形 $ ADE $，直线 $ CE $ 交直线 $ l $ 于点 $ F $。
(1)当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 上时，如图 1，试说明：$ DF = CE - CF $。
(2)当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 的延长线上时，如图 2；当点 $ F $ 在线段 $ DB $ 的延长线上时，如图 3。请分别写出线段 $ DF $，$ CE $，$ CF $ 之间的数量关系，不需要说明理由。
(3)在(1)(2)的条件下，若 $ BD = 2BF $，$ EF = 6 $，则 $ CF = $
]
(1)当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 上时，如图 1，试说明：$ DF = CE - CF $。
(2)当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 的延长线上时，如图 2；当点 $ F $ 在线段 $ DB $ 的延长线上时，如图 3。请分别写出线段 $ DF $，$ CE $，$ CF $ 之间的数量关系，不需要说明理由。
(3)在(1)(2)的条件下，若 $ BD = 2BF $，$ EF = 6 $，则 $ CF = $
2 或 6
。]
答案
15 解：(1)因为 $ △ ABC $ 和 $ △ ADE $ 都是等边三角形，
所以 $ AB = AC $，$ AD = AE $，$ ∠ BAC = ∠ CBA = ∠ BCA = ∠ DAE = 60^{\circ} $，
所以 $ ∠ BAD = ∠ CAE $。
在 $ △ BAD $ 和 $ △ CAE $ 中，$ \begin{cases} AB = AC, \\ ∠ BAD = ∠ CAE, \\ AD = AE, \end{cases} $
所以 $ △ BAD ≌ △ CAE $，所以 $ BD = CE $，$ ∠ ACE = ∠ ABD $，
又因为 $ AB ⊥ l $，所以 $ ∠ ACE = ∠ ABD = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ FCB = 180^{\circ} - ∠ BCA - ∠ ACE = 30^{\circ} $。
因为 $ ∠ DBC = ∠ ABD - ∠ CBA = 30^{\circ} $，
所以 $ ∠ DBC = ∠ FCB $。
易得 $ CF = BF $，所以 $ DF = BD - BF = CE - CF $。
(2)当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 的延长线上时，$ DF = CF - CE $。
当点 $ F $ 在线段 $ DB $ 的延长线上时，$ DF = CE + CF $。
(3)2 或 6
当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 上时，$ CF = 2 $；当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 的延长线上时，不成立；当点 $ F $ 在线段 $ DB $ 的延长线上时，$ CF = 6 $。综上所述，$ CF = 2 $ 或 6。
所以 $ AB = AC $，$ AD = AE $，$ ∠ BAC = ∠ CBA = ∠ BCA = ∠ DAE = 60^{\circ} $，
所以 $ ∠ BAD = ∠ CAE $。
在 $ △ BAD $ 和 $ △ CAE $ 中，$ \begin{cases} AB = AC, \\ ∠ BAD = ∠ CAE, \\ AD = AE, \end{cases} $
所以 $ △ BAD ≌ △ CAE $，所以 $ BD = CE $，$ ∠ ACE = ∠ ABD $，
又因为 $ AB ⊥ l $，所以 $ ∠ ACE = ∠ ABD = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ FCB = 180^{\circ} - ∠ BCA - ∠ ACE = 30^{\circ} $。
因为 $ ∠ DBC = ∠ ABD - ∠ CBA = 30^{\circ} $，
所以 $ ∠ DBC = ∠ FCB $。
易得 $ CF = BF $，所以 $ DF = BD - BF = CE - CF $。
(2)当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 的延长线上时，$ DF = CF - CE $。
当点 $ F $ 在线段 $ DB $ 的延长线上时，$ DF = CE + CF $。
(3)2 或 6
当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 上时，$ CF = 2 $；当点 $ F $ 在线段 $ BD $ 的延长线上时，不成立；当点 $ F $ 在线段 $ DB $ 的延长线上时，$ CF = 6 $。综上所述，$ CF = 2 $ 或 6。
