7.（2023·常州中考）对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”. 例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”.
（1）若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是________.
（2）如图①，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”. 求∠ACB的度数.
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC = BD，AD与BC不平行. 四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请说明理由.
　　　　　　　

(1)2 解析：∵菱形ABCD为“可旋四边形”，∴菱形ABCD的一条对角线AC绕点O旋转一定角度后能与另一条对角线BD重合，即AC = BD，∴菱形ABCD为正方形.∵菱形ABCD的面积为4，∴菱形ABCD的边长是$\sqrt{4}$ = 2.
(2)连接OC，如图①.∵四边形ABCD为“可旋四边形”，且点O是四边形ABCD的一个“旋点”，∴OC = OB，∴∠OCB = ∠OBC.∵点O是边AB的中点，∴OA = OB，∴OA = OC，∴∠OAC = ∠OCA.∵∠OAC + ∠OCA + ∠OCB + ∠OBC = 180°，即2(∠OCA + ∠OCB) = 180°，∴∠ACB = 90°.


(3)四边形ABCD是“可旋四边形”.理由：分别作AD、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC、OD，如图②.∵点O在线段AD和线段BC的垂直平分线上，∴OA = OD，OC = OB.在△AOC和△DOB中，$\begin{cases}OA = OD \\ AC = DB \\ OC = OB\end{cases}$，∴△AOC≌△DOB(SSS)，∴∠AOC = ∠BOD，∴∠AOC - ∠DOC = ∠BOD - ∠DOC，即∠AOD = ∠BOC，∴四边形ABCD是“可旋四边形”.

8.（2024·镇江期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】
（1）小红将两个矩形纸片摆成图①的形状，连接AG、AC、CG，则∠ACG = ________°.
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【解决问题】
（2）将矩形AQGF绕点A顺时针转动，边AF与边CD交于点M，连接BM，AB = 10，AD = 6.
①如图②，当BM = AB时，求证：AM平分∠DMB；
②如图③，当点F落在DC上时，连接BQ交AF于点O，则AO = ________.
【迁移应用】
（3）如图④，正方形ABCD的边长为5，E是BC边上一点（不与点B、C重合），连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°至FE，作射线FC交AB的延长线于点G，则BG = ________.
（4）如图⑤，在菱形ABCD中，∠A = 120°，E是CD边上一点（不与点C、D重合），连接BE，将线段BE绕E顺时针旋转120°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G. 若BG = 6，则CG = ________.
　

(1)45 解析：由题意得∠GAF + ∠FAC = 90°，AG = AC，∴△ACG是等腰直角三角形，∴∠ACG = 45°.
(2)①∵矩形AQGF绕点A顺时针转动，四边形ABCD为矩形，∴DC//AB，∴∠DMA = ∠MAB.∵BM = AB，∴∠BMA = ∠BAM，∴∠DMA = ∠AMB，∴AM平分∠DMB.
②4 解析：过点B作BM⊥AF交AF于点M，如图①.∵四边形ABCD为矩形，∴DC//AB，∴∠CFB = ∠FBA.∵AF = AB，∴∠AFB = ∠ABF，∴∠CFB = ∠AFB，∴BF平分∠MFC.∵BM⊥AF，BC⊥CD，∴BM = BC.∵AQ = BC，∴AQ = BM.在△AOQ和△MOB中，$\begin{cases}∠AOQ = ∠MOB \\ ∠QAO = ∠BMO \\ AQ = MB\end{cases}$，∴△AOQ≌△MOB(AAS)，∴AO = MO，QO = BO.设AO = x.∵AB = 10，BM = BC = 6，∴AM = 8，∴OM = 8 - x，∴x = 8 - x，∴x = 4，即AO = 4.


(3)5 解析：在AB上截取一点H，使得AH = CE，如图②.∵线段AE绕点E顺时针旋转90°至FE，∴AE = EF，∠FEA = 90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD = ∠ABC = 90°，AB = BC，∴∠EAB + ∠AEB = ∠CEF + ∠AEB，∴∠EAB = ∠CEF.在△AEH和△EFC中，$\begin{cases}AH = EC \\ ∠EAB = ∠FEC \\ AE = EF\end{cases}$，∴△AEH≌△EFC，∴∠AHE = ∠FCE.∵AB = BC，AH = CE，∴BH = BE，∴∠EHB = 45°，∴∠AHE = ∠FCE = 135°，∴∠BCG = 45°，∴∠G = 45°，∴BC = BG.∵正方形ABCD的边长为5，∴BG = 5.


(4)2 解析：过点F作∠EFH = ∠BEC，与ED延长线交于点H，如图③.∵四边形ABCD是菱形，∴CB = CD，∠A = ∠BCD = 120°，由旋转性质得∠BEF = 120°，EF = BE，∴∠BEC + ∠CBE = ∠BEC + ∠FEH = 60°，∴∠CBE = ∠FEH，∴△BEC≌△EFH(ASA)，∴∠H = ∠BCD = 120°，EH = BC，FH = CE，∴CD = EH，∴DH = CE，∴DH = FH，∴∠FDH = ∠DFH = 30°，∴∠CDG = 30°.∵∠DCG = 180° - ∠BCD = 60°，∴∠G = 90°，∴△DCG是直角三角形.∵∠CDG = 30°，∴CG = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$BC.∵BG = BC + CG，∴6 = 2CG + CG，∴CG = 2.