1.（2024·江阴期中）如图，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 3，点E是AC的中点，点F是直线AB上一点，将△AEF沿EF所在的直线翻折，点A的对称点为A'，当A'E//AD时，则AF的长为（ ）
　　　　　　　
A. $\frac{4}{5}$或5
B. $\frac{5}{4}$或$\frac{4}{5}$
C. 1或$\frac{4}{5}$
D. 5或$\frac{5}{4}$

D 解析：如图①，当A'E在AC的上方时，连接BD，则BD过AC的中点E，A'E交AB于点G.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC = ∠BAD = 90°，BC = AD = 3，AE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BD = BE，∴AC = $\sqrt{BC^{2}+AB^{2}}$ = 5，∴AE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{5}{2}$，由折叠可得A'E = AE = $\frac{5}{2}$，A'F = AF.∵A'E//AD，∴∠EGB = ∠DAB = ∠A'GF = 90°，∴EG⊥AB.∵EA = EB，∴AG = $\frac{1}{2}$AB = 2，∴GE = $\sqrt{AE^{2}-AG^{2}}$ = $\frac{3}{2}$，FG = AG - AF = 2 - AF，∴A'G = A'E - EG = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = 1.∵∠A'GF = 90°，∴A'F² = A'G² + FG²，即AF² = 1² + (2 - AF)²，解得AF = $\frac{5}{4}$.


如图②，当A'E在AC的下方时，连接BD，则BD过AC的中点E，A'E的延长线交AB于点G，同理可得A'E = AE = $\frac{5}{2}$，∠A'GF = 90°，GE = $\frac{3}{2}$，FG = AF - AG = AF - 2，A'G = A'E + EG = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = 4，A'F = AF，∴A'F² = A'G² + FG²，即AF² = 4² + (AF - 2)²，解得AF = 5.综上，AF的长为5或$\frac{5}{4}$.故选D.

2.（2024·宜兴期中）如图①，已知矩形纸片ABCD，AB = 4，AD = 7，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图②），则DF = ________；然后将△FBE绕点F旋转到△FMN，当MN过点C时旋转停止（如图③），则EN = ________.
　

3 $\frac{24}{5}$ 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A = ∠ABC = 90°，AB = CD = 4，AD = BC = 7.∵将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上，∴AB = BE，∠BEF = 90°，∴四边形ABEF是矩形，∠CEF = 180° - 90° = 90°.∵AB = BE，∴四边形ABEF是正方形，∴AB = BE = EF = AF = 4，∴DF = AD - AF = 3，CE = BC - BE = 3.如图所示，连接CF，∴CF = $\sqrt{CE^{2}+EF^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5.∵将△FBE绕点F旋转到△FMN，∴∠BEF = ∠CNF = 90°，EF = NF = 4.∵CF = CF，∴Rt△ECF≌Rt△NCF(HL)，∴CN = CE = 3，∴点C在EN的垂直平分线上，点F在EN的垂直平分线上，∴CF⊥EN，∴S_{四边形ECNF} = $\frac{1}{2}$×EN×CF = 2S_{△ECF} = 2×$\frac{1}{2}$×4×3 = 12，即$\frac{1}{2}$×5×EN = 12，∴EN = $\frac{24}{5}$.

3.（2024·淮安期中）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E、B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP = 90°，连接DP. 若AB = 1，则△ADP周长的最小值为（ ）
　　
A. 3
B. $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{5}$ + 1
D. $\sqrt{7}$ + 1

C 解析：如图所示，在AB上取一点G使得BG = BE，连接EG、CP，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB = BC = AD = CD = 1，∠B = ∠BCD = 90°.∵∠AEP = 90°，∴∠BAE + ∠BEA = 90° = ∠BEA + ∠CEP，∴∠GAE = ∠CEP.∵BG = BE，∴∠BGE = ∠BEG = 45°，∴∠AGE = 135°.∵AB - BG = BC - BE，∴AG = EC.又∵AE = EP，∴△AGE≌△ECP(SAS)，∴∠ECP = ∠AGE = 135°，∴∠DCP = 45°，∴点P在直线CP上运动，如图所示，作点D关于直线CP的对称点F，连接CF、AF、PF，∴DP = FP，CF = CD = 1，∠DCP = ∠FCP = 45°，即∠DCF = 90°，∴∠DCF + ∠BCD = 180°，即B、C、F三点共线.∵△ADP的周长 = AD + DP + AP = 1 + DP + AP = AP + PF + 1，∴当A、P、F三点共线时，△ADP的周长有最小值，最小值为AF + 1，在Rt△ABF中，由勾股定理得AF = $\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}$ = $\sqrt{1^{2}+(1 + 1)^{2}}$ = $\sqrt{5}$，∴△ADP的周长最小值为$\sqrt{5}$ + 1.故选C.

4.（2024·南京期中）如图，平面直角坐标系中，A(8,0)，点P为线段OA上任意一点，在直线y = $\frac{3}{4}$x上取点E，使PO = PE，F为射线PE上一点，使PA = PF，连接AF，分别取OE、AF的中点M、N，则①∠MPN = ________；②线段MN的最小值是________.
　　　　　　　　　　　　　　　

①90° 解析：连接PM，PN，设AF与直线y = $\frac{3}{4}$x交于点J，连接PJ，如图.
∵OP = PE，M为OE的中点，∴PM⊥OE，∠OPM = ∠EPM.∵PA = PF，N为AF的中点，∴PN⊥AF，∠FPN = ∠NPA，∴∠MPN = ∠EPM + ∠FPN = $\frac{1}{2}$(∠OPF + ∠FPA) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°.
②$\frac{96}{25}$ 解析：∵∠PMJ = ∠PNJ = ∠MPN = 90°，∴四边形PMJN为矩形，∴AF⊥OJ，∴MN = PJ，∴当PJ⊥OA时，PJ的值最小，此时MN的值也最小.根据题意，点J在直线y = $\frac{3}{4}$x上，设J(4a，3a)，则OJ = $\sqrt{(4a)^{2}+(3a)^{2}}$ = 5a.∵A(8，0)，∴AJ² = (8 - 4a)² + (3a)² = 25a² - 64a + 64.在Rt△AJO中，OA² = AJ² + OJ²，即64 = 25a² - 64a + 64 + 25a²，整理可得50a² - 64a = 0，∵a≠0，∴50a - 64 = 0，解得a = $\frac{32}{25}$，∴J的纵坐标为$\frac{96}{25}$，当PJ⊥OA时，PJ的值最小，最小值为$\frac{96}{25}$，即MN的最小值为$\frac{96}{25}$.

5.（2024·无锡期中）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF，交AC于点M，连接DE、BO. 若BO = BC，OM = CM，则下列结论中：①△OBC为等边三角形；②AE = CF；③四边形BFDE是菱形；④BE = 2AE. 正确结论的个数是（ ）
　　　　　　　
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

D 解析：∵BO = BC，OM = CM，∴BF是OC的垂直平分线，∴CF = OF.∵BF = BF，∴△BOF≌△BCF(SSS)，∴∠BOF = ∠BCF = 90°，∠CBF = ∠OBF，∴∠BOE = ∠BOF = 90°.∵CD//AB，∴∠CAB = ∠ACD.∵点O是AC的中点，∴AO = CO.∵∠AOE = ∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE = OF，AE = CF，故②正确；∵OE = OF，OB = OB，∠BOE = ∠BOF = 90°，∴△BOE≌△BOF(SAS)，∴∠OBE = ∠OBF，BF = BE，∴∠OBE = ∠OBF = ∠CBF = 30°，∴∠OBC = 60°，∴△OBC是等边三角形，故①正确；∵AE = CF，∴DF = BE，∴四边形BFDE是平行四边形.∵BF = BE，∴四边形BFDE是菱形，故③正确；∵∠CBF = 30°，∠BCF = 90°，∴BF = 2CF.∵AE = CF，BF = BE，∴BE = 2AE，故④正确.综上所述，正确的有①②③④，共4个.故选D.

6.（2024·苏州期中）如图，在Rt△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，点D为AB边的中点，∠EDF = 90°，将∠EDF绕D旋转，它的两边分别交AC、CB所在直线于点E、F. 有以下4个结论：①CE = BF；②∠DEC + ∠DBF = 180°；③EF² = 2DE²；④当点E、F落在AC、CB的延长线上时，$S_{\triangle DEF}-S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$. 在旋转过程中，上述结论一定成立的有（ ）
　　
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

C 解析：如图①，连接DC.∵AC = BC，∠ACB = 90°，点D为AB边的中点，∴∠B = 45°，∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACB = 45°，CD⊥AB，CD = $\frac{1}{2}$AB = BD，∴∠DCE = ∠B，∠CDB = 90°.∵∠EDF = 90°，∴∠CDE = ∠BDF.在△CDE和△BDF中，$\begin{cases}∠CDE = ∠BDF \\ CD = BD \\ ∠DCE = ∠B\end{cases}$，∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴CE = BF，故①正确；∵△CDE≌△BDF，∴∠BFD = ∠DEC，DF = DE，∴∠BFD + ∠DFC = 180° = ∠DEC + ∠DFC ≠ ∠DEC + ∠DBF，故②错误；∵∠EDF = 90°，由△CDE≌△BDF知DE = DF，∴EF² = DE² + DF² = 2DE²，故③正确；如图②，连接CD，同理可证△DEC≌△DFB，∠DCE = ∠DBF = 135°.∵S_{△DEF} = S_{五边形DBFEC} = S_{△CFE} + S_{△DBC} = S_{△CFE} + $\frac{1}{2}$S_{△ABC}，∴S_{△DEF} - S_{△CEF} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC}，故④正确.故选C.