20. (10分)(2024·吉林校级月考)如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，动点P在线段CB上以每秒2个单位长度的速度由点C向终点B运动.设动点P的运动时间为x秒.
(1)当x为何值时，四边形PODB是平行四边形？
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出x的值，并求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)连接OP，当线段OP分矩形OABC面积为1 : 2时，直接写出x的值.
　　　　　　　　　　　

(1)∵四边形OABC为矩形，A(10,0),C(0,4),∴BC=OA=10,AB=OC=4.∵点D是OA的中点，∴OD= $\frac{1}{2}$OA=5,由运动知，PC=2x,∴BP=BC-PC=10-2x.∵四边形PODB是平行四边形，∴PB=OD=5,∴10-2x=5，∴x=2.5.
(2)在直线CB上存在一点Q，使得以O、D、Q、P点为顶点的四边形是菱形.①当点Q在点P的右边时，如图①.∵四边形ODQP为菱形，∴OD=OP=PQ=5,∴在Rt△OPC中,由勾股定理得PC= $\sqrt{OP^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3,∴2x=3，∴x=1.5.∵CQ=PC+PQ=3+5=8,OC=4,∴Q(8,4).
②当点Q在点P的左边且在线段BC上时，如图②.∵四边形ODPQ为菱形,∴OD=OQ=PQ=5.在Rt△OQC中,由勾股定理得CQ= $\sqrt{OQ^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3,∴Q(3,4).∵CP=CQ+PQ=3+5=8,∴2x=8,∴x=4.
③当点Q在点P的左边且在BC的延长线上时，如图③.∵四边形ODPQ为菱形,∴OD=OQ=PQ=5.在Rt△OQC中，由勾股定理得CQ= $\sqrt{OQ^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3,∴Q(-3,4).∵CP=PQ-CQ=5-3=2，∴2x=2，∴x=1.
综上可知，以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况:x=1.5,Q(8,4);x=4,Q(3,4);x=1,Q(-3,4).
(3)$\frac{10}{3}$　解析:∵四边形OABC为矩形，A(10,0),C(0,4),∴OA=BC=10,AB=OC=4,∴当$S_{\triangle OCP}=\frac{1}{3}S_{矩形OABC}=\frac{1}{3}\times10\times4=\frac{40}{3}$时，点P满足题意，即$\frac{1}{2}CP\cdot OC=\frac{1}{2}\times4CP=\frac{40}{3}$，解得CP= $\frac{20}{3}$，∴x= $\frac{20}{3}\div2=\frac{10}{3}$.

21. (12分)(2024·南宁期中)如图，取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【探究发现】
第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM、BM.根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM = ________°；
(2)【类比应用】
如图②，小李将矩形纸片换成边长为8 cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求∠MBQ的度数；
(3)【拓展延伸】
如图③，在(2)的探究中，改变点P在AD上的位置(点P不与点A、D重合)，当QF = 2 cm时，请直接写出AP的长.
　　　　　　

(1)30　解析:如图①，连接AM,由第一次折叠可得直线EF为AB的垂直平分线.∵点M在EF上，∴AM=BM.由第二次折叠可得AB=BM，∴△ABM为等边三角形，∴∠ABM=60°,∴∠PBM= $\frac{1}{2}$∠ABM=30°.

一题多解：由第一次折叠知AE=BE= $\frac{1}{2}$AB，∠AEF=∠BEF=90°.由第二次折叠知AB=MB，∠ABP=∠MBP= $\frac{1}{2}$∠ABM，∴BE= $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$MB，如图①，取BM中点O，连接OE.∵在Rt△BEM中，点O是斜边BM中点，∴OE= $\frac{1}{2}$BM = OB，∴OE=OB=BE，∴△BEO是等边三角形，∴∠EBO=60°，即∠ABM=60°，∴∠PBM= $\frac{1}{2}$∠ABM=30°.
(2)同(1)可证∠ABM=60°，∴∠CBM=∠ABC-∠ABM=90°-60°=30°.在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°.由折叠知AB=BM，∠PMB=∠A=90°，∴BC=BM，∠BMQ=∠C=90°.在Rt△BMQ和Rt△BCQ中，$\begin{cases}BM = BC, \\BQ = BQ,\end{cases}$ ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），∴∠MBQ=∠CBQ，∴∠MBQ= $\frac{1}{2}$∠CBM= $\frac{1}{2}\times30° = 15°$.
(3)AP的长为$\frac{24}{5}$cm或$\frac{8}{7}$cm. 解析:当点Q在点F的下方时，如图②，在正方形ABCD中，AD=CD=8cm，∴DQ=QF+DF=6cm，∴CQ=CD-DQ=8-6=2(cm).由(2)知Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），∴MQ=CQ=2cm.设AP=xcm，由折叠知MP=AP=xcm，∴PQ=MP+MQ=(x+2)cm，PD=AD-AP=(8-x)cm.在Rt△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，∴(8-x)²+6²=(x+2)²，解得x= $\frac{24}{5}$，即AP= $\frac{24}{5}$cm.当点Q在点F的上方时，如图③，则DQ=DF-QF=2cm，∴CQ=CD-DQ=8-2=6(cm)，∴MQ=CQ=6cm.设AP=MP=xcm，则PD=AD-AP=(8-x)cm，PQ=MP+MQ=(x+6)cm.在Rt△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，∴(8-x)²+2²=(x+6)²，解得x= $\frac{8}{7}$，即AP= $\frac{8}{7}$cm.
综上可知，AP的长为$\frac{24}{5}$cm或$\frac{8}{7}$cm.