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1. 下列各式 $3x + 2 = 2x - 2$,$2×1 + 2023 = 2025$,$x = 0$,$\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 1$,$2x + 3(x - 1) = 1$,$5x - 6 = 2x + 8$,$\frac{6 - x}{2}$中,为一元一次方程的有 ( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
C
解析
$3x + 2 = 2x - 2$是一元一次方程；
$2×1 + 2023 = 2025$不含未知数，不是一元一次方程；
$x = 0$是一元一次方程；
$\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 1$是一元一次方程；
$2x + 3(x - 1) = 1$是一元一次方程；
$5x - 6 = 2x + 8$是一元一次方程；
$\frac{6 - x}{2}$不是等式，不是一元一次方程。
一元一次方程有5个。
C
$2×1 + 2023 = 2025$不含未知数，不是一元一次方程；
$x = 0$是一元一次方程；
$\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 1$是一元一次方程；
$2x + 3(x - 1) = 1$是一元一次方程；
$5x - 6 = 2x + 8$是一元一次方程；
$\frac{6 - x}{2}$不是等式，不是一元一次方程。
一元一次方程有5个。
C
2. 母题教材P118习题T3 下列方程中,解是 $x = 2$ 的方程是 ( )
A.$3x = x + 3$
B.$-x + 3 = 0$
C.$5x - 2 = 8$
D.$2x = 6$
A.$3x = x + 3$
B.$-x + 3 = 0$
C.$5x - 2 = 8$
D.$2x = 6$
答案
C
解析
将$x=2$代入各选项：
选项A：左边$=3×2=6$，右边$=2 + 3=5$，左边≠右边，不是方程的解。
选项B：左边$=-2 + 3=1$，右边$=0$，左边≠右边，不是方程的解。
选项C：左边$=5×2 - 2=8$，右边$=8$，左边=右边，是方程的解。
选项D：左边$=2×2=4$，右边$=6$，左边≠右边，不是方程的解。
C
选项A：左边$=3×2=6$，右边$=2 + 3=5$，左边≠右边，不是方程的解。
选项B：左边$=-2 + 3=1$，右边$=0$，左边≠右边，不是方程的解。
选项C：左边$=5×2 - 2=8$，右边$=8$，左边=右边，是方程的解。
选项D：左边$=2×2=4$，右边$=6$，左边≠右边，不是方程的解。
C
3. 已知 $x = 2$ 是方程 $2x + k = x - 1$ 的解,则 $k$ 的值是 。
答案
-3
解析
将$x = 2$代入方程$2x + k = x - 1$，得$2×2 + k = 2 - 1$，即$4 + k = 1$，解得$k = 1 - 4 = -3$。
$-3$
$-3$
4. 新视角结论开放题 请写一个未知数的系数是 $-3$ 且方程的解是1的一元一次方程： 。
答案
-3x+3=0(答案不唯一)
5. 易错题 若方程 $k·x^{|k + 1|} + 6 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程,则 $k = $ 。
答案
-2
解析
因为方程$k·x^{|k + 1|} + 6 = 0$是关于$x$的一元一次方程，所以$|k + 1| = 1$且$k \neq 0$。
由$|k + 1| = 1$可得：
$k + 1 = 1$或$k + 1 = -1$，
解得$k = 0$或$k = -2$。
又因为$k \neq 0$，所以$k = -2$。
$-2$
由$|k + 1| = 1$可得：
$k + 1 = 1$或$k + 1 = -1$，
解得$k = 0$或$k = -2$。
又因为$k \neq 0$，所以$k = -2$。
$-2$
6. 判断括号内未知数的值是不是方程的解：
(1) $x^{2} - 3x - 4 = 0(x = -1,x = 1)$；
(2) $3x - 1 = 2(x + 1) - 4(x = -1,x = 0)$；
(3) $\frac{3x - 7}{3} = 3(x - 1)(x = -\frac{1}{3},x = \frac{1}{3})$。
(1) $x^{2} - 3x - 4 = 0(x = -1,x = 1)$；
(2) $3x - 1 = 2(x + 1) - 4(x = -1,x = 0)$；
(3) $\frac{3x - 7}{3} = 3(x - 1)(x = -\frac{1}{3},x = \frac{1}{3})$。
答案
【解】
(1)当x=-1时,左边=1+3-4=0=右边,故x=-1是该方程的解;当x=1时,左边=1-3-4=-6≠右边,故x=1不是该方程的解.
(2)当x=-1时,左边=-3-1=-4,右边=2×(-1+1)-4=-4,左边=右边,故x=-1是该方程的解;当x=0时,左边=-1,右边=2-4=-2,左边≠右边,故x=0不是该方程的解.
(3)当$x=-\dfrac{1}{3}$时,左边$=\dfrac{-1-7}{3}=-\dfrac{8}{3},$右边$=3×(-\dfrac{1}{3}-1)=-4,$左边≠右边,故$x=-\dfrac{1}{3}$不是该方程的解;当$x=\dfrac{1}{3}$时,左边$=\dfrac{1-7}{3}=-2,$右边$=3×(\dfrac{1}{3}-1)=-2,$左边=右边,故$x=\dfrac{1}{3}$是该方程的解.
(1)当x=-1时,左边=1+3-4=0=右边,故x=-1是该方程的解;当x=1时,左边=1-3-4=-6≠右边,故x=1不是该方程的解.
(2)当x=-1时,左边=-3-1=-4,右边=2×(-1+1)-4=-4,左边=右边,故x=-1是该方程的解;当x=0时,左边=-1,右边=2-4=-2,左边≠右边,故x=0不是该方程的解.
(3)当$x=-\dfrac{1}{3}$时,左边$=\dfrac{-1-7}{3}=-\dfrac{8}{3},$右边$=3×(-\dfrac{1}{3}-1)=-4,$左边≠右边,故$x=-\dfrac{1}{3}$不是该方程的解;当$x=\dfrac{1}{3}$时,左边$=\dfrac{1-7}{3}=-2,$右边$=3×(\dfrac{1}{3}-1)=-2,$左边=右边,故$x=\dfrac{1}{3}$是该方程的解.
7. 小亮在解方程 $3a + x = 7$ 时,由于粗心,错把 $+x$ 看成了 $-x$,结果解得 $x = 1$,则 $a$ 的值为 ( )
A.$\frac{8}{3}$
B.3
C.$-3$
D.$\frac{3}{8}$
A.$\frac{8}{3}$
B.3
C.$-3$
D.$\frac{3}{8}$
答案
A
解析
小亮错把方程看成 $3a - x = 7$，将 $x = 1$ 代入得：$3a - 1 = 7$，解得 $3a = 8$，$a = \frac{8}{3}$。
A
A
8. 新考法整体代入法 已知 $x = 3$ 是关于 $x$ 的一元一次方程 $(m - 1)x + m^{2} = 1$ 的解,则 $2026 - 2m^{2} - 6m$ 的值是 。
答案
2018【点拨】把x=3代入关于x的一元一次方程,得(m-1)×3+m²=1,整理,得m²+3m=4,所以-2m²-6m=-8.所以2026-2m²-6m=2026-8=2018.
解析
把$x = 3$代入方程$(m - 1)x + m^{2} = 1$，得$(m - 1)×3 + m^{2} = 1$，整理得$m^{2} + 3m = 4$。两边同时乘以$-2$，得$-2m^{2} - 6m = -8$。所以$2026 - 2m^{2} - 6m = 2026 - 8 = 2018$。
2018
2018
9. [2025镇江月考] 整式 $mx + 2n$ 的值随 $x$ 的取值不同而不同,下表是当 $x$ 取不同值时整式 $mx + 2n$ 对应的值,则关于 $x$ 的方程 $-2mx - 4n = 4$ 的解为 。
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $mx + 2n$ | $4$ | $2$ | $0$ | $-2$ | $-4$ | $-6$ |
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $mx + 2n$ | $4$ | $2$ | $0$ | $-2$ | $-4$ | $-6$ |
答案
x=0
解析
当$x=-1$时，$mx + 2n=0$，即$-m + 2n=0$，得$2n=m$。
方程$-2mx - 4n = 4$可化为$-2mx - 2m=4$，即$-2m(x + 1)=4$。
由表格，当$x=1$时，$mx + 2n=-4$，即$m + 2n=-4$，又$2n=m$，故$m + m=-4$，$2m=-4$，$m=-2$。
将$m=-2$代入$-2m(x + 1)=4$，得$-2×(-2)(x + 1)=4$，$4(x + 1)=4$，$x + 1=1$，$x=0$。
$x=0$
方程$-2mx - 4n = 4$可化为$-2mx - 2m=4$，即$-2m(x + 1)=4$。
由表格，当$x=1$时，$mx + 2n=-4$，即$m + 2n=-4$，又$2n=m$，故$m + m=-4$，$2m=-4$，$m=-2$。
将$m=-2$代入$-2m(x + 1)=4$，得$-2×(-2)(x + 1)=4$，$4(x + 1)=4$，$x + 1=1$，$x=0$。
$x=0$
10. 若方程 $(|m| - 1)x^{2} + (m - 1)x^{n - 1} + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程,则 $m^{n}$ 的值是 。
答案
1
解析
因为方程$(|m| - 1)x^{2} + (m - 1)x^{n - 1} + 3 = 0$是关于$x$的一元一次方程，所以二次项系数为$0$，一次项系数不为$0$，且未知数的最高次数为$1$。
1. 二次项系数为$0$：$|m| - 1 = 0$，解得$m = \pm 1$。
2. 一次项系数不为$0$：$m - 1 \neq 0$，所以$m \neq 1$，故$m = -1$。
3. 未知数最高次数为$1$：$n - 1 = 1$，解得$n = 2$。
则$m^n = (-1)^2 = 1$。
1
1. 二次项系数为$0$：$|m| - 1 = 0$，解得$m = \pm 1$。
2. 一次项系数不为$0$：$m - 1 \neq 0$，所以$m \neq 1$，故$m = -1$。
3. 未知数最高次数为$1$：$n - 1 = 1$，解得$n = 2$。
则$m^n = (-1)^2 = 1$。
1
11. 在练习解方程时,作业上有一个方程“$2y - \frac{1}{3} = \frac{1}{8}y + $■”中的■没印清,小华问老师,老师只是说：“■是一个有理数,该方程的解与 $x = 3$ 时,代数式 $5(x - 1) - 2(x - 2) - 4$ 的值相同。”
(1) 求当 $x = 3$ 时,代数式 $5(x - 1) - 2(x - 2) - 4$ 的值；
(2) 求原方程中■的值。
(1) 求当 $x = 3$ 时,代数式 $5(x - 1) - 2(x - 2) - 4$ 的值；
(2) 求原方程中■的值。
答案
【解】
(1)5(x-1)-2(x-2)-4=5x-5-2x+4-4=3x-5,当x=3时,原式=3×3-5=4.
(2)由题意得方程$2y-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{8}y+■$的解为y=4,所以$2×4-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{8}×4+■,$所以$■=7\dfrac{1}{6}.$
(1)5(x-1)-2(x-2)-4=5x-5-2x+4-4=3x-5,当x=3时,原式=3×3-5=4.
(2)由题意得方程$2y-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{8}y+■$的解为y=4,所以$2×4-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{8}×4+■,$所以$■=7\dfrac{1}{6}.$
12. 新考法换元法 若关于 $x$ 的一元一次方程 $mx + 5 = 3x - 7$ 的解为 $x = -3$,则关于 $y$ 的一元一次方程 $m(y + 2) + 5 = 3(y + 2) - 7$ 的解为 ( )
A.$y = -3$
B.$y = -4$
C.$y = -5$
D.$y = -6$
A.$y = -3$
B.$y = -4$
C.$y = -5$
D.$y = -6$
答案
C
解析
令$z = y + 2$，则方程$m(y + 2) + 5 = 3(y + 2) - 7$可化为$mz + 5 = 3z - 7$。
已知关于$x$的方程$mx + 5 = 3x - 7$的解为$x = -3$，所以$z = -3$。
即$y + 2 = -3$，解得$y = -5$。
C
已知关于$x$的方程$mx + 5 = 3x - 7$的解为$x = -3$，所以$z = -3$。
即$y + 2 = -3$，解得$y = -5$。
C
13. 关于 $x$ 的方程 $(m + 2)x = 6$ 的解为自然数,当 $m$ 为整数时,$m$ 的值为 。
答案
-1,0,1,4【点拨】方程的解为$x=\dfrac{6}{m+2},$因为方程的解是自然数,所以m+2＞0,且为6的因数,所以m+2的值可以为1,2,3,6,可分别求得m的值为-1,0,1,4.
解析
方程的解为$x = \dfrac{6}{m + 2}$。因为方程的解是自然数，所以$m + 2$是6的正因数。6的正因数为1,2,3,6。
当$m + 2 = 1$时，$m = -1$；
当$m + 2 = 2$时，$m = 0$；
当$m + 2 = 3$时，$m = 1$；
当$m + 2 = 6$时，$m = 4$。
故$m$的值为-1,0,1,4。
当$m + 2 = 1$时，$m = -1$；
当$m + 2 = 2$时，$m = 0$；
当$m + 2 = 3$时，$m = 1$；
当$m + 2 = 6$时，$m = 4$。
故$m$的值为-1,0,1,4。
