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1. 下列变形正确的是( )
A.若 $x - 7 = y$,则 $x = y - 7$
B.若 $x = y$,则 $x - 2 = y + 2$
C.若 $x = y$,则 $x^{2} = y^{2}$
D.若 $x = y$,则 $\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$
A.若 $x - 7 = y$,则 $x = y - 7$
B.若 $x = y$,则 $x - 2 = y + 2$
C.若 $x = y$,则 $x^{2} = y^{2}$
D.若 $x = y$,则 $\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$
答案
C
解析
A. 若$x - 7 = y$，则$x = y + 7$，A错误；
B. 若$x = y$，则$x - 2 = y - 2$，B错误；
C. 若$x = y$，则$x^{2} = y^{2}$，C正确；
D. 若$x = y$，当$c \neq 0$时，$\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$，D错误。
C
B. 若$x = y$，则$x - 2 = y - 2$，B错误；
C. 若$x = y$，则$x^{2} = y^{2}$，C正确；
D. 若$x = y$，当$c \neq 0$时，$\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$，D错误。
C
2. 小红学习了等式的性质后,在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“□”“○”“△”三种物体,如图所示,天平都保持平衡.若设“□”与“○”的质量分别为 $x$,$y$,则下列关系式正确的是( )
A.$x = y$
B.$x = 2y$
C.$x = 4y$
D.$x = 5y$
A.$x = y$
B.$x = 2y$
C.$x = 4y$
D.$x = 5y$
答案
C
解析
设“△”的质量为$z$。
由甲图天平平衡得：$x + y = y + 2z$，化简得$x = 2z$，即$z=\frac{x}{2}$。
由乙图天平平衡得：$x + z = x + 2y$，将$z=\frac{x}{2}$代入得：$x+\frac{x}{2}=x + 2y$，化简得$\frac{x}{2}=2y$，即$x = 4y$。
C
由甲图天平平衡得：$x + y = y + 2z$，化简得$x = 2z$，即$z=\frac{x}{2}$。
由乙图天平平衡得：$x + z = x + 2y$，将$z=\frac{x}{2}$代入得：$x+\frac{x}{2}=x + 2y$，化简得$\frac{x}{2}=2y$，即$x = 4y$。
C
3. (1)已知等式 $x - 3 = 4$,两边同时______,得 $x = $______,依据是______；
(2)已知等式 $3x = 2x - 2$,两边同时______,得 $x = $______,依据是______；
(3)已知等式 $-\frac{1}{5}x = \frac{2}{5}$,两边同时______,得 $x = $______,依据是______.
(2)已知等式 $3x = 2x - 2$,两边同时______,得 $x = $______,依据是______；
(3)已知等式 $-\frac{1}{5}x = \frac{2}{5}$,两边同时______,得 $x = $______,依据是______.
答案
(1)加 3；7；等式的性质 1
(2)减 2x；-2；等式的性质 1
(3)乘 -5；-2；等式的性质 2
4. 写出一个一元一次方程,要求：所写的方程必须直接利用等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为 $0$ 的数),所得的结果仍是等式求解.这样的方程可以为______.
答案
5x=-2(答案不唯一)
5. 利用等式的性质解方程：
(1)$5 + x = - 2$；
(2)$-\frac{1}{2}x = 4$；
(3)$3x + 6 = 31 - 2x$；
(4)$0.1x - 2 = - 4$.
(1)$5 + x = - 2$；
(2)$-\frac{1}{2}x = 4$；
(3)$3x + 6 = 31 - 2x$；
(4)$0.1x - 2 = - 4$.
答案
【解】
(1)方程两边减 5，得5+x-5=-2-5，所以x=-7.
(2)方程两边乘-2，得$-\frac{1}{2}x×(-2)=4×(-2)，$所以x=-8.
(3)方程两边加 2x，减 6，得3x+6+2x-6=31-2x+2x-6，化简，得5x=25.方程两边除以 5，得x=5.
(4)方程两边加 2，得0.1x-2+2=-4+2.化简，得0.1x=-2.方程两边乘 10，得0.1x×10=-2×10.所以x=-20.
(1)方程两边减 5，得5+x-5=-2-5，所以x=-7.
(2)方程两边乘-2，得$-\frac{1}{2}x×(-2)=4×(-2)，$所以x=-8.
(3)方程两边加 2x，减 6，得3x+6+2x-6=31-2x+2x-6，化简，得5x=25.方程两边除以 5，得x=5.
(4)方程两边加 2，得0.1x-2+2=-4+2.化简，得0.1x=-2.方程两边乘 10，得0.1x×10=-2×10.所以x=-20.
6. 阅读理解题：
下面是小明将等式 $x - 4 = 3x - 4$ 进行变形的过程.
$x - 4 + 4 = 3x - 4 + 4$,①
$x = 3x$,②
$1 = 3$. ③
(1)①的依据是______；
(2)小明出错的步骤是______(填序号),错误的原因是______；
(3)给出正确的解法.
下面是小明将等式 $x - 4 = 3x - 4$ 进行变形的过程.
$x - 4 + 4 = 3x - 4 + 4$,①
$x = 3x$,②
$1 = 3$. ③
(1)①的依据是______；
(2)小明出错的步骤是______(填序号),错误的原因是______；
(3)给出正确的解法.
答案
【解】
(1)等式的性质 1
(2)③；没有确定 x 是否为 0，就在等式的两边除以 x
(3)x-4=3x-4，x-4+4=3x-4+4，x=3x，x-3x=3x-3x，-2x=0，x=0.
(1)等式的性质 1
(2)③；没有确定 x 是否为 0，就在等式的两边除以 x
(3)x-4=3x-4，x-4+4=3x-4+4，x=3x，x-3x=3x-3x，-2x=0，x=0.
7. 下列等式变形：①如果 $ax = ay$,那么 $x = y$；②如果 $a = b$,那么 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$；③如果 $|a| = |b|$,那么 $a = b$；④如果 $4a = 7b$,那么 $\frac{a}{7} = \frac{b}{4}$.其中正确的有( )
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案
A 点易错 ax=ay，只有当 a≠0 时，可得 x=y；a=b，只有当 c≠0 时，可得$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}，$此题易忽略限制条件，从而错以为①②正确.
8. 一元一次方程 $x - 2 = - 2x +$●中的部分数字被墨渍污染,翻看答案知此方程的解为 $x = 1$,则被墨渍污染的数字“●”为( )
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
A
解析
设被墨渍污染的数字为$a$，则原方程为$x - 2=-2x + a$。
将$x = 1$代入方程，得$1 - 2=-2×1 + a$。
计算左边：$1 - 2=-1$。
计算右边：$-2×1 + a=-2 + a$。
所以$-1=-2 + a$，解得$a = 1$。
A
将$x = 1$代入方程，得$1 - 2=-2×1 + a$。
计算左边：$1 - 2=-1$。
计算右边：$-2×1 + a=-2 + a$。
所以$-1=-2 + a$，解得$a = 1$。
A
9. 设 $a$,$b$,$c$ 为互不相等的数,$b = \frac{4}{5}a + \frac{1}{5}c$,则下列结论正确的是( )
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$c ＞ b ＞ a$
C.$a - b = 4(b - c)$
D.$a - c = 5(a - b)$
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$c ＞ b ＞ a$
C.$a - b = 4(b - c)$
D.$a - c = 5(a - b)$
答案
D 【点拨】a，b，c 的大小关系不能确定，所以 A，B 选项的结论不一定正确；$b=\frac{4}{5}a+\frac{1}{5}c $的两边同时乘 5，得5b=4a+c.两边同时减去 4b+c，得b-c=4a-4b.两边同时乘$\frac{1}{4}，$得$\frac{b-c}{4}=a-b，$所以 C 选项的结论不正确；在 5b=4a+c 的两边同时减去 5a，得5(b-a)=c-a.两边同时乘-1，得5(a-b)=a-c，所以 D 选项的结论正确.故选 D.
