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11. 新视角条件探究题 已知$(n - 1)x^{m + 2} - 3x^{2} + 2x$(其中$m$是大于-2的整数)。
(1)若$n = 2$,且该式是关于$x$的三次三项式,求$m$的值。
(2)若该式是关于$x$的二次单项式,求$m$,$n$的值。
(3)若该式是关于$x$的二次二项式,则$m$,$n$要满足什么条件？
(1)若$n = 2$,且该式是关于$x$的三次三项式,求$m$的值。
(2)若该式是关于$x$的二次单项式,求$m$,$n$的值。
(3)若该式是关于$x$的二次二项式,则$m$,$n$要满足什么条件？
答案
【解】
(1)因为$n=2$，所以该式为$x^{m+2}-3x^{2}+2x$.因为该式是关于x的三次三项式，所以$m+2=3$，解得$m=1$.
(2)由题意得$m+2=1$，$n-1=-2$，解得$m=-1$，$n=-1$.
(3)若该式是关于x的二次二项式，则m，n有以下三种情况：①$n-1=0$，即$n=1$，m为大于-2的整数；②$m=-1$，$n≠-1$；③$m=0$，$n≠4$.
(1)因为$n=2$，所以该式为$x^{m+2}-3x^{2}+2x$.因为该式是关于x的三次三项式，所以$m+2=3$，解得$m=1$.
(2)由题意得$m+2=1$，$n-1=-2$，解得$m=-1$，$n=-1$.
(3)若该式是关于x的二次二项式，则m，n有以下三种情况：①$n-1=0$，即$n=1$，m为大于-2的整数；②$m=-1$，$n≠-1$；③$m=0$，$n≠4$.
12. 情境题生活应用 小亮在自家土地上整理出了一块苗圃,并将这块苗圃分成了四个长方形区域,其尺寸如图所示(单位：m),小亮计划在这四个区域上按图中所示分别种植草本花卉1号,2号,3号,4号。
(1)用代数式表示这块苗圃的总面积。
(2)这个代数式是多项式还是单项式？如果是多项式,请你说出它是几次几项式。
(1)用代数式表示这块苗圃的总面积。
(2)这个代数式是多项式还是单项式？如果是多项式,请你说出它是几次几项式。
答案
【解】
(1)这块苗圃的总面积为$a^{2}+4a+6× 8+4× 6=(a^{2}+4a+72)m^{2}$.
(2)这个代数式是多项式，它是二次三项式.
(1)这块苗圃的总面积为$a^{2}+4a+6× 8+4× 6=(a^{2}+4a+72)m^{2}$.
(2)这个代数式是多项式，它是二次三项式.
13. 已知多项式$a^{10} - 3a^{9}b + 5a^{8}b^{2} - 7a^{7}b^{3} + … + mb^{10}$。
(1)根据这个多项式的排列规律,你能确定这个多项式是几次几项式吗？
(2)最后一项的系数$m$的值为______。
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？
(1)根据这个多项式的排列规律,你能确定这个多项式是几次几项式吗？
(2)最后一项的系数$m$的值为______。
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？
答案
【解】
(1)因为多项式$a^{10}-3a^{9}b+5a^{8}b^{2}-7a^{7}b^{3}+\cdots+mb^{10}$是按照a的指数由大到小排列，所以该多项式有11项，并且每一项的次数是10，所以该多项式是十次十一项式.
(2)21 【点拨】因为多项式$a^{10}-3a^{9}b+5a^{8}b^{2}-7a^{7}b^{3}+\cdots+mb^{10}$有11项，且每一项的系数分别是1，-3，5，-7，…，偶数项的系数为负数，奇数项的系数为正数，所以第n项的系数为$(-1)^{n+1}(2n-1)$，所以第十一项的系数为21，所以$m=21$，即最后一项的系数m的值为21.
(3)因为多项式第n项的系数为$(-1)^{n+1}(2n-1)$，所以第七项的系数是$(-1)^{7+1}(2× 7-1)=13$，第八项的系数是$(-1)^{8+1}(2× 8-1)=-15$.因为多项式$a^{10}-3a^{9}b+5a^{8}b^{2}-7a^{7}b^{3}+\cdots+mb^{10}$是按照a的指数由大到小排列，且每一项的次数是10，所以第七项是$13a^{4}b^{6}$，第八项是$-15a^{3}b^{7}$.
(1)因为多项式$a^{10}-3a^{9}b+5a^{8}b^{2}-7a^{7}b^{3}+\cdots+mb^{10}$是按照a的指数由大到小排列，所以该多项式有11项，并且每一项的次数是10，所以该多项式是十次十一项式.
(2)21 【点拨】因为多项式$a^{10}-3a^{9}b+5a^{8}b^{2}-7a^{7}b^{3}+\cdots+mb^{10}$有11项，且每一项的系数分别是1，-3，5，-7，…，偶数项的系数为负数，奇数项的系数为正数，所以第n项的系数为$(-1)^{n+1}(2n-1)$，所以第十一项的系数为21，所以$m=21$，即最后一项的系数m的值为21.
(3)因为多项式第n项的系数为$(-1)^{n+1}(2n-1)$，所以第七项的系数是$(-1)^{7+1}(2× 7-1)=13$，第八项的系数是$(-1)^{8+1}(2× 8-1)=-15$.因为多项式$a^{10}-3a^{9}b+5a^{8}b^{2}-7a^{7}b^{3}+\cdots+mb^{10}$是按照a的指数由大到小排列，且每一项的次数是10，所以第七项是$13a^{4}b^{6}$，第八项是$-15a^{3}b^{7}$.
14. [2025西安莲湖区期中] 已知多项式$3m^{2}n^{4} - 2mn - 5的二次项系数为a$,项数为$b$,次数为$c$,如图,在数轴上,点$A表示的数为a$,点$B表示的数为b$,点$C表示的数为c$。
(1)填空：$a = $______,$b = $______,$c = $______；
(2)若将该数轴对折,使得对折后点$A与点C$重合,求对折后与点$B$重合的点所表示的数；
(3)有一电子蟋蟀落在数轴上的$A$处,第1步向右跳1个单位长度,第2步向左跳2个单位长度,第3步向右跳3个单位长度,第4步向左跳4个单位长度,…,按以上规律跳了2025步后,求电子蟋蟀最终落在数轴上的点所表示的数。
第14题微课
(1)填空：$a = $______,$b = $______,$c = $______；
(2)若将该数轴对折,使得对折后点$A与点C$重合,求对折后与点$B$重合的点所表示的数；
(3)有一电子蟋蟀落在数轴上的$A$处,第1步向右跳1个单位长度,第2步向左跳2个单位长度,第3步向右跳3个单位长度,第4步向左跳4个单位长度,…,按以上规律跳了2025步后,求电子蟋蟀最终落在数轴上的点所表示的数。
第14题微课
答案
【解】
(1)-2；3；6
(2)因为折点所表示的数为$\frac{-2+6}{2}=2$，所以与点B重合的点所表示的数为1.
(3)$-2+1-2+3-4+\cdots-2024+2025$$=-2-1012+2025$$=1011$.所以电子蟋蟀最终落在数轴上的点所表示的数为1011.
(1)-2；3；6
(2)因为折点所表示的数为$\frac{-2+6}{2}=2$，所以与点B重合的点所表示的数为1.
(3)$-2+1-2+3-4+\cdots-2024+2025$$=-2-1012+2025$$=1011$.所以电子蟋蟀最终落在数轴上的点所表示的数为1011.
