8.（2024·周口期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(-2,-2)、(2,-2)，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 025次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A. (-3,1) B. (0,-3) C. (0,-4) D. (4,1)
　　　　　　

B 解析：∵ 平行四边形 ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别是(0,1)、
(-2,-2)、(2,-2)，由 AD//BC 且 AD = BC 可得点 D 的坐标为(4,1).
当绕点 A 顺时针旋转 90°时，第一次旋转结束后 $D_1(0,-3)$，第二次
旋转结束后 $D_2(-4,1)$，第三次旋转结束后 $D_3(0,5)$，第四次旋转结
束后 $D_4(4,1)$. ∵ 2025÷4 = 506……1，∴ 第 2025 次旋转结束时，点 D
的坐标为 D(0,-3). 故选 B.

9.（2024·扬州月考）如图，在面积是12的平行四边形ABCD中，对角线AC绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AD、BC于点E、F，若BF = 2CF，则图中阴影部分的面积是__________.
　　

2 解析：在平行四边形 ABCD 中，AD//BC，
∴ ∠EAO = ∠FCO. ∵ 点 O 是 AC 的中点，
∴ AO = CO. ∵ ∠AOE = ∠COF，∴ △AOE≌
△COF，∴ AE = CF. 如图，过点 A 作 AH⊥BC，
交 BC 于点 H，∴ $S_{▱ABCD}=BC\cdot AH = 12$，
∴ $S_{阴影部分}=\frac{1}{2}FC\cdot AH$.
∵ BF = 2CF，∴ BC = 3FC，∴ $S_{阴影部分}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}BC\cdot AH=\frac{1}{6}\times12 = 2$.

10.（2024·杭州期中）如图，将□ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，A点落在线段BF上的点A'处，C点落在点E处，连接EA'、EF.若恰有EF⊥EA'，则∠A = _______.
　　

126° 解析：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD//BC，∠A = ∠C.
由折叠得 ∠ABE = ∠A'BE = ∠CBF，∠A'EB = ∠AEB，∠BEF = ∠C =
∠A，∴ ∠A'EB = ∠AEB = ∠EBC = 2∠A'BE = 2∠ABE. ∵ EF⊥EA'，
∴ ∠A'EF = 90°，∴ ∠BEF - ∠A'EB = 90°，∴ ∠A - 2∠ABE = 90°.
∵ ∠A = 180° - ∠ABC = 180° - 3∠ABE，∴ 180° - 3∠ABE - 2∠ABE =
90°，∴ ∠ABE = 18°，∴ ∠AEB = 2∠ABE = 2×18° = 36°，∴ ∠A =
180° - ∠ABE - ∠AEB = 180° - 18° - 36° = 126°.

11. 改编题 如图，点E是□ABCD内一点，且AE⊥AD，CE⊥CD，∠AEB = 135°.
（1）写出图中与∠BAE相等的角，并证明；
（2）求证：CE = CD；
（3）若BE = $\sqrt{2}$，AE = 1，求□ABCD的面积.
　　　　　　　　　　　

(1) ∠BCE = ∠BAE. 证明如下：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠BAD = ∠BCD. ∵ AE⊥AD，CE⊥CD，∴ ∠EAD = ∠ECD = 90°，
∴ ∠BCD - ∠ECD = ∠BAD - ∠EAD，即 ∠BCE = ∠BAE.
(2) 如图，延长 AE 交 BC 于点 F. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//BC，AB = CD，∴ ∠BFA = ∠EAD = 90°，∴ ∠AFC = 90° =
∠BFA. ∵ ∠BEA = 135°，∴ ∠BEF = 180° - ∠BEA = 180° - 135° = 45°.
在 Rt△BFE 中，∠EBF = 90° - ∠BEF = 90° - 45° = 45° = ∠BEF.
∴ BF = EF. ∵ ∠BCE = ∠BAE，∠AFC = ∠BFA，∴ △ABF≌△CEF
(AAS)，∴ AB = CE. ∵ AB = CD，∴ CE = CD.

(3) 在 Rt△BFE 中，∠BFE = 90°，由勾股定理可得，$BF^{2}+EF^{2}=BE^{2}$.
∵ BF = EF 且 $BE = \sqrt{2}$，∴ BF = EF = 1，∴ AF = EF + AE = 2.
∵ △ABF≌△CEF，∴ FC = AF = 2，∴ BC = BF + FC = 3，□ABCD 的面
积 = BC×AF = 6.

12.（1）在平行四边形ABCD中，连接AC，∠CAD = 40°，△ABC为钝角等腰三角形，则∠ADC的度数为________.
（2）在平行四边形ABCD中（非长方形），连接AC，△ABC为直角三角形，若AB = 4，AC = 3，则AD = ________.

(1) 40°或 100°
(2) $\sqrt{7}$或 5 解析：分两种情况：如图①，∵ ∠ACB = 90°，AB =
4，AC = 3，∴ $BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=16 - 9 = 7$，∴ $AD = BC=\sqrt{7}$；如图②，
∵ ∠BAC = 90°，AB = 4，AC = 3，∴ $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=16 + 9 = 25$，∴ AD =
BC = 5. 综上可知，$AD=\sqrt{7}$或 5.

13.（绍兴中考）问题：如图，在□ABCD中，AB = 8，AD = 5，∠DAB、∠ABC的平分线AE、BF分别与直线CD交于点E、F，求EF的长.
答案：EF = 2.
探究：（1）把“问题”中的条件“AB = 8”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
（2）把“问题”中的条件“AB = 8，AD = 5”去掉，其余条件不变，当点C、D、E、F相邻两点间的距离相等时，求$\frac{AD}{AB}$的值.
　　　　　　　　　　　　

(1) ①如图①，∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD，
∴ ∠DEA = ∠EAB. ∵ AE 平分 ∠DAB，∴ ∠DAE = ∠EAB，∴ ∠DAE =
∠DEA，∴ DE = AD = 5. 同理可得 BC = CF = 5. ∵ 点 E 与点 F 重合，
∴ AB = CD = DE + CF = 10.

②如图②，点 E 与点 C 重合，同①可得，DE = AD = 5. ∵ CF = BC = 5，
∴ 点 F 与点 D 重合，∴ EF = DC = 5.
(2) 分三种情况：
①如图③，∵ AD = DE = EF = CF，∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$.

②如图④，∵ AD = DE = CF，DF = FE = CE，∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$.
③如图⑤，∵ AD = DE = CF，FD = DC = CE，∴ $\frac{AD}{AB}=2$.
综上所述，$\frac{AD}{AB}$的值为 $\frac{1}{3}$或 $\frac{2}{3}$或 2.
方法总结
本题图中隐含着一个重要的基本几何模型，即角平分线和平行线结
合在一起时会出现等腰三角形，因此我们在几何分析时一定要注意
挖掘出图中的基本几何图形.