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1. 下列等式正确的是 （ ）
A. $\sqrt{(-2)^{2}}=-2$
B. $(\sqrt{2})^{2}=2$
C. $-\sqrt{(-2)^{2}}=2$
D. $(-\sqrt{2})^{2}=-2$
A. $\sqrt{(-2)^{2}}=-2$
B. $(\sqrt{2})^{2}=2$
C. $-\sqrt{(-2)^{2}}=2$
D. $(-\sqrt{2})^{2}=-2$
答案
B
2.（2024·武威模拟）已知一次函数$y = mx + n$的图像经过第一、三、四象限，则化简$\sqrt{(m - n)^{2}} + \sqrt{n^{2}}$的结果是 （ ）
A. $n$
B. $-m$
C. $2m - n$
D. $m - 2n$
A. $n$
B. $-m$
C. $2m - n$
D. $m - 2n$
答案
D
3. 计算：
（1）（2024·德阳中考）$\sqrt{(-3)^{2}} =$_______；
（2）$\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}} =$_______；
（3）$\sqrt{(a^{2} + 1)^{2}} =$_______；
（4）$\sqrt{(-3)^{2}} + \sqrt{(x - 4)^{2}} =$_______.
（1）（2024·德阳中考）$\sqrt{(-3)^{2}} =$_______；
（2）$\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}} =$_______；
（3）$\sqrt{(a^{2} + 1)^{2}} =$_______；
（4）$\sqrt{(-3)^{2}} + \sqrt{(x - 4)^{2}} =$_______.
答案
(1)3 (2)$\sqrt{3}-1$ (3)$a^{2}+1$ (4)1
4.（1）若$\sqrt{(a - 2)^{2}} = (\sqrt{a - 2})^{2}$成立，则$a$的取值范围是_______；
（2）若$\sqrt{(2a - 1)^{2}} = 1 - 2a$，则$a$的取值范围是_______.
（2）若$\sqrt{(2a - 1)^{2}} = 1 - 2a$，则$a$的取值范围是_______.
答案
(1)$a\geq2$ (2)$a\leq\frac{1}{2}$
5.（2024·宜昌期末）若$x ＜ 0$，则$|x - \sqrt{x^{2}}| =$_______.
答案
-2x
6. 已知点$Q(3 - a, 5 - a)$在第二象限，化简：$\sqrt{a^{2} - 4a + 4} + \sqrt{a^{2} - 10a + 25}$.
答案
$\because$点$Q(3 - a,5 - a)$在第二象限，$\therefore3 - a＜0,5 - a＞0$，解得$3 ＜ a ＜ 5$，$\therefore$原式$=\sqrt{(a - 2)^{2}}+\sqrt{(a - 5)^{2}}=\vert a - 2\vert+\vert a - 5\vert=a - 2-(a - 5)=a - 2 - a + 5 = 3$。
7. 新趋势 过程性学习（2024·大连月考）求代数式$a + \sqrt{1 - 2a + a^{2}}$的值，其中$a = 1011$，如图所示的是小亮和小芳的解答过程.
（1）________的解法是错误的；
（2）求代数式$a + 2\sqrt{a^{2} - 6a + 9}$的值，其中$a = -2024$.
（1）________的解法是错误的；
（2）求代数式$a + 2\sqrt{a^{2} - 6a + 9}$的值，其中$a = -2024$.
答案
(1)小亮 解析：$\because a = 1011$，$\therefore1 - a＜0$，则原式$=a+\sqrt{(1 - a)^{2}}=a+\vert1 - a\vert=a + a - 1 = 2021$，$\therefore$小亮的解法是错误的。
(2)$a + 2\sqrt{a^{2}-6a + 9}=a + 2\sqrt{(a - 3)^{2}}=a + 2\vert a - 3\vert$。$\because a=-2024$，$\therefore a - 3＜0$，$\therefore\vert a - 3\vert=3 - a$，$\therefore$原式$=a + 2(3 - a)=6 - a=6-(-2024)=2030$。
(2)$a + 2\sqrt{a^{2}-6a + 9}=a + 2\sqrt{(a - 3)^{2}}=a + 2\vert a - 3\vert$。$\because a=-2024$，$\therefore a - 3＜0$，$\therefore\vert a - 3\vert=3 - a$，$\therefore$原式$=a + 2(3 - a)=6 - a=6-(-2024)=2030$。
8. 化简$\sqrt{9x^{2} - 6x + 1} - (\sqrt{3x - 5})^{2}$的结果是（ ）
A. $6x - 6$
B. $-6x + 6$
C. $-4$
D. $4$
A. $6x - 6$
B. $-6x + 6$
C. $-4$
D. $4$
答案
D 解析：由已知条件可得$3x - 5\geq0$，即$3x\geq5$，则$3x - 1＞0$，$\therefore$原式$=\sqrt{(3x - 1)^{2}}-(\sqrt{3x - 5})^{2}=3x - 1-(3x - 5)=3x - 1 - 3x + 5 = 4$。
9. 若化简$|1 - x| - \sqrt{x^{2} - 8x + 16}$的结果为$2x - 5$，则$x$的取值范围是 （ ）
A. $x$为任意实数
B. $1 \leq x \leq 4$
C. $x \geq 1$
D. $x \leq 4$
A. $x$为任意实数
B. $1 \leq x \leq 4$
C. $x \geq 1$
D. $x \leq 4$
答案
B 解析：原式可化简为$\vert1 - x\vert-\vert x - 4\vert$。当$1 - x\geq0,x - 4\geq0$时，此时$x$无解，不符合题意；当$1 - x\geq0,x - 4\leq0$时，可得$x\leq1$，原式$=1 - x - 4 + x=-3$，不符合题意；当$1 - x\leq0,x - 4\geq0$时，可得$x\geq4$，原式$=x - 1 - x + 4 = 3$，不符合题意；当$1 - x\leq0,x - 4\leq0$时，可得$1\leq x\leq4$，原式$=x - 1 - 4 + x=2x - 5$，符合题意。综上可得，当$1\leq x\leq4$时满足题意，故选B。
10.（2024·宿迁模拟）已知$m$、$n$是两个连续的偶数$(0 ＜ m ＜ n)$，且$a = m - 2$，$b = n + 2$，$c = \sqrt{bm + 4} + \sqrt{an + 4}$，则下列对$c$的表述中正确的是 （ ）
A. 总是奇数
B. 总是偶数
C. 总是无理数
D. 可能是有理数，也可能是无理数
A. 总是奇数
B. 总是偶数
C. 总是无理数
D. 可能是有理数，也可能是无理数
答案
B 解析：$\because m,n$是两个连续的偶数$(0 ＜ m ＜ n)$，$\therefore n=m + 2$。$\because a=m - 2,b=n + 2$，$\therefore c=\sqrt{(m + 2)m + 4}+\sqrt{(m - 2)(m + 2)+4}=\sqrt{m^{2}+4m + 4}+\sqrt{m^{2}-4 + 4}=\sqrt{(m + 2)^{2}}+\sqrt{m^{2}}=m + 2 + m=2(m + 1)$，$\therefore c$是偶数。故选B。
