11.（1）已知$(\sqrt{a})^{2} = 5$，$\sqrt{b^{2}} = 3$，则$a + b$的值为_______；
（2）已知$\sqrt{a^{2}} = 1$，$|b| = 2$，则$\sqrt{(a + b)^{2}}$的值为_______.

(1)2或8 解析：可得$a = 5,b=\pm3$，$\therefore a + b$的值为2或8。
(2)1或3 解析：可得$a=\pm1,b=\pm2$，$\sqrt{(a + b)^{2}}=\vert a + b\vert$，代入可得值为1或3。

12.（凉山州中考）当$-1 ＜ a ＜ 0$时，$\sqrt{(a + \frac{1}{a})^{2} - 4} - \sqrt{(a - \frac{1}{a})^{2} + 4} =$_______.

2a 解析：$\because - 1 ＜ a ＜ 0$，$\therefore\frac{1}{a}＜a＜0$，$\therefore$原式$=\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}}-\sqrt{(a+\frac{1}{a})^{2}}=\vert a-\frac{1}{a}\vert-\vert a+\frac{1}{a}\vert=a-\frac{1}{a}+a+\frac{1}{a}=2a$。

13.（1）若$x$、$y$都是实数，且满足$y ＞ \sqrt{\frac{1}{2} - x} + \sqrt{x - \frac{1}{2}} + 1$，试化简代数式$|x - 1| - \sqrt{(x - 1)^{2}} - \frac{\sqrt{y^{2} - 2y + 1}}{y - 1}$；
（2）设$a$、$b$、$c$为$\triangle ABC$的三边，化简：$\sqrt{(a + b + c)^{2}} + \sqrt{(a - b - c)^{2}} + \sqrt{(b - a - c)^{2}} - \sqrt{(c - b - a)^{2}}$.

(1)由题意得$\frac{1}{2}-x\geq0$且$x-\frac{1}{2}\geq0$，$\therefore x=\frac{1}{2}$，$\because y＞1$。原式$=\vert x - 1\vert-\frac{\sqrt{(x - 1)^{2}}}{y - 1}-\frac{\sqrt{(y - 1)^{2}}}{y - 1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1=-1$。
(2)根据$a、b、c$为$\triangle ABC$的三边，得$a + b + c＞0,a - b - c＜0,b - a - c＜0,c - b - a＜0$，则原式$=\vert a + b + c\vert+\vert a - b - c\vert+\vert b - a - c\vert-\vert c - b - a\vert=a + b + c + b + c - a + a + c - b - a + b - c = 4c$。

14. 设$S = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \cdots + \sqrt{1 + \frac{1}{2023^{2}} + \frac{1}{2024^{2}}}$，则$S$最接近的整数是 （ ）
A. 2023
　　　　　　　　　　　　　
B. 2024
C. 2025
D. 2026

B 解析：设$n$为任意正整数，$\therefore\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}}=\sqrt{\frac{n^{2}(n + 1)^{2}+(n + 1)^{2}+n^{2}}{[n(n + 1)]^{2}}}=\sqrt{\frac{n^{2}(n + 1)^{2}+2n(n + 1)+1}{[n(n + 1)]^{2}}}=\frac{n^{2}+n + 1}{n(n + 1)}=1+\frac{1}{n(n + 1)}$，$\therefore S=(1+\frac{1}{1\times2})+(1+\frac{1}{2\times3})+(1+\frac{1}{3\times4})+\cdots+(1+\frac{1}{2023\times2024})=2023+(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{2023\times2024})=2023+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024})=2024-\frac{1}{2024}$，因此与$S$最接近的整数是2024。故选B。

15. 你见过像$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$，$\sqrt{\sqrt{48} - \sqrt{45}}$，$\cdots$，这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以化简，如：$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2 - 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} - 2\times\sqrt{2}\times1 + 1^{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^{2}} = \sqrt{2} - 1$.
（1）请用上述方法化简：
①$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$；
②$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$.
（2）若$a + 6\sqrt{5} = (m + \sqrt{5}n)^{2}$，且$a$、$m$、$n$为正整数，求$a$的值.

(1)①$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}=\sqrt{3 - 2\sqrt{3}+1}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-2\times\sqrt{3}\times1 + 1^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}=\sqrt{3}-1$。
②$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}=\sqrt{4 - 4\sqrt{3}+3}=\sqrt{2^{2}-2\times2\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=2-\sqrt{3}$。
(2)$\because a + 6\sqrt{5}=(m+\sqrt{5}n)^{2}=m^{2}+5n^{2}+2\sqrt{5}mn$，$\therefore a=m^{2}+5n^{2}$且$2\sqrt{5}mn=6\sqrt{5}$，$\therefore mn = 3$。$\because a、m、n$为正整数，$\therefore$当$m = 1,n = 3$时，$a = 46$；当$m = 3,n = 1$时，$a = 14$，$\therefore a$的值为14或46。