9. 新趋势 项目式学习【实践与探究】九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践——应用——探究的过程:
(1)实践:他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量,测得隧道的路面宽为$10m$,隧道顶部最高处距地面$6.25m$,并画出了隧道截面图,建立了如图①所示的直角坐标系,则该抛物线的表达式为______.
(2)应用:按规定,机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为$0.5m$.为了确保安全,问:该隧道能否让最宽$3m$、最高$3.5m$的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)?
(3)探究:该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述抛物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:
Ⅰ.如图②,在抛物线内作矩形$ABCD$,使顶点$C$、$D$落在抛物线上,顶点$A$、$B$落在$x$轴上.设矩形$ABCD$的周长为$l$,求$l$的最大值.
Ⅱ.如图③,过原点作直线$y= x$(即直线$OM$),交抛物线于点$M$,交抛物线对称轴于点$N$,$P$为直线$OM$上一动点,过点$P$作$x$轴的垂线交抛物线于点$Q$.问:在直线$OM$上是否存在点$P$,使以$P$、$N$、$Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)实践:他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量,测得隧道的路面宽为$10m$,隧道顶部最高处距地面$6.25m$,并画出了隧道截面图,建立了如图①所示的直角坐标系,则该抛物线的表达式为______.
(2)应用:按规定,机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为$0.5m$.为了确保安全,问:该隧道能否让最宽$3m$、最高$3.5m$的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)?
(3)探究:该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述抛物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:
Ⅰ.如图②,在抛物线内作矩形$ABCD$,使顶点$C$、$D$落在抛物线上,顶点$A$、$B$落在$x$轴上.设矩形$ABCD$的周长为$l$,求$l$的最大值.
Ⅱ.如图③,过原点作直线$y= x$(即直线$OM$),交抛物线于点$M$,交抛物线对称轴于点$N$,$P$为直线$OM$上一动点,过点$P$作$x$轴的垂线交抛物线于点$Q$.问:在直线$OM$上是否存在点$P$,使以$P$、$N$、$Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
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答案
