1. (2024·无锡宜兴模拟)在$\square ABCD$中，$\angle B + \angle D = 100^{\circ}$，则$\angle A$的度数为 （ ）
A. $50^{\circ}$
B. $130^{\circ}$
C. $100^{\circ}$
D. $65^{\circ}$

B

2. (2024·苏州工业园区模拟)若一个平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则该平行四边形的各边长为 （ ）
A. 4，8，4，8
B. 5，7，5，7
C. 5.5，6.5，5.5，6.5
D. 13，11，13，11

B

3. (2024·南京鼓楼模拟)如图，$EF$是$\triangle ABC$的中位线，$BD$平分$\angle ABC$，交$EF$于点$D$.若$AE = 3$，$DF = 1$，则$BC$的长为 （ ）

A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

B

4. (2024·常州天宁模拟)如图，在$\square ABCD$中，$AD = 7$，$CE$平分$\angle BCD$，交边$AD$于点$E$，且$AE = 4$，则边$AB$的长为_______.

3

5. (2024·苏州工业园区模拟)如图，$\square ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$AE\perp BC$，垂足为$E$，$AB = \sqrt{3}$，$AC = 2$，$BD = 4$，则$AE$的长为_______.

$\frac{2\sqrt{21}}{7}$ 解析：$\because AC = 2, BD = 4$，四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OA=\frac{1}{2}AC = 1, OB=\frac{1}{2}BD = 2$.$\because AB=\sqrt{3}$，$\therefore AB^{2}+OA^{2}=OB^{2}$.$\therefore \triangle BAO$是直角三角形，$\angle BAO = 90^{\circ}$.$\therefore BA\perp AC$.$\therefore$在$Rt\triangle BAC$中，$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{7}$.$\because S_{\triangle BAC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AE$，$\therefore AE=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}\times2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$.

6. (2024·扬州广陵一模)如图①，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，延长$BC$至点$F$，使$CF = \frac{1}{2}BC$，连接$CD$，$EF$.
(1) 求证：四边形$DEFC$是平行四边形；
(2) 如图②，当$\triangle ABC$是等边三角形且边长是12时，求四边形$DEFC$的面积.

(1)$\because D, E$分别为$AB, AC$的中点，$\therefore DE$是$\triangle ABC$的中位线.$\therefore DE=\frac{1}{2}BC, DE// BC$.$\because CF=\frac{1}{2}BC$，$\therefore DE = CF$.$\therefore$四边形$DEFC$是平行四边形 (2) 如图，过点$D$作$DH\perp BC$于点$H$，则$\angle DHB = 90^{\circ}$.$\because \triangle ABC$是等边三角形，$D$为$AB$的中点，$\therefore \angle B = 60^{\circ}, BD=\frac{1}{2}AB = 6$.$\therefore$在$Rt\triangle BHD$中，$DH = BD\cdot\sin B = 6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.$\because CF=\frac{1}{2}BC = 6$，$\therefore S_{四边形DEFC}=CF\cdot DH = 18\sqrt{3}$