[变式]　(2024·宿迁宿豫三模)如图，$\square ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，在$OA$，$OC$的延长线上分别取$E$，$F$两点，使$\angle ABE = \angle CDF$. 求证:
(1)$\triangle ABE\cong\triangle CDF$;
(2)四边形$BEDF$是平行四边形.
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[变式]（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB//CD，AB = CD. ∴ ∠BAC = ∠DCA. ∴ 180° - ∠BAC = 180° - ∠DCA，即∠BAE = ∠DCF. 又∵ ∠ABE = ∠CDF，∴ △ABE≌△CDF.（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA = OC，OB = OD. 由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴ AE = CF. ∴ OA + AE = OC + CF，即OE = OF. ∴ 四边形BEDF是平行四边形.

典例4　(2024·盐城盐都模拟)如图，在$\square ABCD$中，$E$，$F$分别是边$AD$，$BC$上的点，且$AE = CF$，连接$BE$，$DF$，$CE$.
(1)求证:四边形$BEDF$是平行四边形;
(2)若$CE$平分$\angle BCD$，$CF = 3$，$DE = 5$，求$\square ABCD$的周长.
　　　　　　　　　　　　

典例4（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD//BC，AD = BC. ∵ AE = CF，∴ AD - AE = BC - CF，即DE = BF. ∴ 四边形BEDF是平行四边形.（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD = BC，AB = DC，AD//BC. ∴ ∠DEC = ∠BCE. ∵ CE平分∠BCD，∴ ∠DCE = ∠BCE. ∴ ∠DCE = ∠DEC. ∴ CD = DE = 5. ∴ AB = CD = 5. ∵ AE = CF = 3，∴ AD = AE + DE = 3 + 5 = 8. ∴ BC = AD = 8. ∴ ▱ABCD的周长为AB + CD + BC + AD = 5 + 5 + 8 + 8 = 26.

典例5　(2023·镇江模拟)如图，在四边形$ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，延长$AD$至点$E$，连接$EO$并延长，交$CB$的延长线于点$F$，$\angle AEF = \angle CFE$，$AD = BC$，连接$AF$，$CE$. 求证:
(1)$O$是线段$AC$的中点;
(2)四边形$AFCE$是平行四边形.
　　　　　　　　　　　　

典例5（1）∵ ∠AEF = ∠CFE，∴ AD//BC. ∵ AD = BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AC，BD互相平分，即O是线段AC的中点.（2）由（1），得O是线段AC的中点，∴ OA = OC. 在△OAE和△OCF中，$\begin{cases}\angle AEO=\angle CFO,\\\angle AOE=\angle COF,\\OA = OC,\end{cases}$ ∴ △OAE≌△OCF. ∴ OE = OF. 又∵ OA = OC，∴ 四边形AFCE是平行四边形.

典例6　(2024·盐城亭湖模拟)
如图，在$\triangle ABC$中，$E$是$BC$的中点，$AD$平分$\angle BAC$，且$AD\perp CD$于点$D$. 若$AB = 6$，$AC = 3$，则$DE$的长为__________.
　　　　　　　　　　　　　　

典例6 $\frac{3}{2}$.