典例1（2024·连云港连云一模）如图，正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，$P$是$\overset{\frown}{BC}$上一点（点$P$不与点$C$重合），则$\angle CPD$的度数为（ ）



A. $45^{\circ}$
B. $36^{\circ}$
C. $35^{\circ}$
D. $30^{\circ}$

B.

典例2（2023·南京）如图，$\odot O$与正六边形$ABCDEF$的边$CD$，$EF$分别相切于点$C$，$F$.若$AB = 2$，则$\odot O$的半径为______.

如图，连接CF，OC，OF，过点D作DG⊥CF于点G，过点E作EH⊥CF于点H，过点O作OM⊥CF于点M，则EH//DG. ∵ EF，CD是⊙O的切线，∴ ∠OFE = ∠OCD = 90°. ∵ 多边形ABCDEF是正六边形，∴ ∠DEF = ∠CDE = 120°. ∴ ∠COF=(5 - 2)×180° - 90°×2 - 120°×2 = 120°. ∵ OC = OF，∴ ∠OCF = ∠OFC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠COF)=30°. ∴ ∠EFH = ∠DCG = 90° - 30° = 60°. ∵ ∠EHF = ∠DGC = 90°，CD = EF，∴ △CDG≌△FEH. ∴ CG = FH，DG = EH. 易得四边形EHGD是矩形，∴ HG = DE = 2. ∵ ∠DGC = ∠EHF = 90°，∠DCG = ∠EFH = 60°，∴ ∠CDG = ∠FEH = 30°. 又∵ CD = EF = 2，∴ CG = FH = 1. ∴ CF = CG + HG + FH = 1 + 2 + 1 = 4. ∵ OM⊥CF，∴ CM = $\frac{1}{2}$CF = 2. ∴ 在Rt△OMC中，OC = $\frac{CM}{\cos\angle OCF}$=$\frac{CM}{\cos30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$. ∴ ⊙O的半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

典例3（2024·苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图所示为一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点$O$，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心$C$恰好是$\triangle ABO$的内心.若$AB = 2\sqrt{3}$，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为______（结果保留$\pi$）.

如图，过点C作CM⊥AB于点M，则AM = BM = $\frac{1}{2}$AB = $\sqrt{3}$. ∵ 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，∴ ∠AOB = $\frac{360°}{6}$=60°. ∵ OA = OB，∴ △AOB是等边三角形. ∴ ∠OAB = ∠OBA = 60°. ∵ 点C是△AOB的内心，∴ ∠CAB = ∠CBA = $\frac{1}{2}$×60° = 30°. ∴ ∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠CBA = 180° - 30° - 30° = 120°. 在Rt△ACM中，AM = $\sqrt{3}$，∠CAM = 30°，∴ AC = $\frac{AM}{\cos30°}$=2. ∴ $\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120\pi×2}{180}$=$\frac{4\pi}{3}$. ∴ 花窗的周长为$\frac{4\pi}{3}$×6 = 8$\pi$.

典例4（2024·无锡模拟）如图，扇形的圆心角为$120^{\circ}$，点$C$在圆弧上，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$OA = 2$，则涂色部分的面积为（ ）



A. $\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
B. $\frac{2\pi}{3}$
C. $\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
D. $\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

如图，连接AC，OC. ∵ ∠ABC = 30°，∴ ∠AOC = 2∠ABC = 60°. 又∵ OA = OC，∴ △AOC是等边三角形. ∴ ∠CAO = 60°. 又∵ ∠AOB = 120°，∴ ∠CAO + ∠AOB = 180°. ∴ AC//OB. ∴ S$_{△ABC}$=S$_{△AOC}$. ∴ S$_{涂色}$=S$_{扇形OAC}$=$\frac{60\pi×2^{2}}{360}$=$\frac{2\pi}{3}$. 故选B.

典例5（2023·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长$l$为$6\mathrm{cm}$，扇形的圆心角$\theta$为$120^{\circ}$，则圆锥的底面圆的半径$r$为______$\mathrm{cm}$.

2.

[变式]（2024·苏州虎丘二模）如图，在矩形$ABCD$中，以点$B$为圆心，$BA$长为半径画弧，交$CD$于点$E$.若$E$是$CD$的中点，$AB = 6$，则扇形$ABE$所围成圆锥底面圆的半径为______.

1.