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典例5（2024·常州新北一模）下列计算正确的是（ ）
A. $(\sqrt{2})^0 = \sqrt{2}$
B. $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{6}$
C. $\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 2) = 6 - 2\sqrt{3}$
A. $(\sqrt{2})^0 = \sqrt{2}$
B. $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{6}$
C. $\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 2) = 6 - 2\sqrt{3}$
答案
典例5 D.
典例6（1）（2023·南京）计算$\sqrt{12} \times \sqrt{6} - \sqrt{18}$的结果是________；
（2）（2024·南京鼓楼二模）化简$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{20}}$的结果是________.
（2）（2024·南京鼓楼二模）化简$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{20}}$的结果是________.
答案
典例6 (1) $3\sqrt{2}$. (2) $\frac{1}{3}$.
典例7（2024·连云港二模）先化简，再求值：$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} \div (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$，其中$a = \sqrt{5} + 1$，$b = \sqrt{5} - 1$.
答案
典例7 原式=$\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}\cdot\frac{ab}{b - a}=-\frac{ab}{a + b}$. $\because a = \sqrt{5} + 1$, $b = \sqrt{5} - 1$, $\therefore ab = 4$, $a + b = 2\sqrt{5}$. $\therefore$原式=$-\frac{4}{2\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
1.（2024·无锡模拟）若式子$\sqrt{a - 3}$在实数范围内有意义，则$a$的取值范围是（ ）
A. $a＞3$
B. $a\geqslant3$
C. $a＜3$
D. $a\leqslant3$
A. $a＞3$
B. $a\geqslant3$
C. $a＜3$
D. $a\leqslant3$
答案
B
2.（2024·南京玄武二模）下列各数中，与$2 + \sqrt{3}$的积为有理数的是（ ）
A. $2\sqrt{3}$
B. $2 + \sqrt{3}$
C. $-2 + \sqrt{3}$
D. $-2 - \sqrt{3}$
A. $2\sqrt{3}$
B. $2 + \sqrt{3}$
C. $-2 + \sqrt{3}$
D. $-2 - \sqrt{3}$
答案
C
3.（2024·南京鼓楼一模）下列计算正确的是（ ）
A. $\sqrt{4 + 9}=2 + 3$
B. $\sqrt{4\times9}=2\times3$
C. $\sqrt{9^{4}}=\sqrt{3^{2}}$
D. $\sqrt{4.9}=0.7$
A. $\sqrt{4 + 9}=2 + 3$
B. $\sqrt{4\times9}=2\times3$
C. $\sqrt{9^{4}}=\sqrt{3^{2}}$
D. $\sqrt{4.9}=0.7$
答案
B
4.（2024·扬州高邮一模）若$\sqrt{7}=m$，$\sqrt{70}=n$，则$\sqrt{4.9}$可用含$m$，$n$的代数式表示为（ ）
A. $\frac{m + n}{10}$
B. $\frac{mn}{10}$
C. $\frac{n}{m}$
D. $\frac{m - n}{10}$
A. $\frac{m + n}{10}$
B. $\frac{mn}{10}$
C. $\frac{n}{m}$
D. $\frac{m - n}{10}$
答案
B
5.（2023·扬州模拟）若$\sqrt{(x - 1)^{2}}=1 - x$，则$x$的取值范围是_______.
答案
$x \leq 1$
6.（2024·扬州宝应一模）已知$k = \sqrt{6}(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$，则与$k$最接近的整数为_____.
答案
5 解析：$k = \sqrt{6}(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \sqrt{6}(5 - 3) = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$。$\because 4.5^{2} = 20.25$，$5^{2} = 25$，$\therefore 4.5 ＜ \sqrt{24} ＜ 5$。$\therefore$与$k$最接近的整数为 5.
7.（1）（2024·南京模拟）化简$\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$的结果是_______；
答案
(1) $2\sqrt{5}$
（2）（2024·南京建邺一模）计算$(\sqrt{18} - \sqrt{8})\times\sqrt{2}$的结果是_______.
答案
(2) 2
8.（2024·扬州高邮一模）计算：$(-\frac{1}{3})^{-2}-(\pi - 2024)^{0}+\vert\sqrt{3} - 2\vert-\sqrt{27}\cdot\tan30^{\circ}$.
答案
原式$= 9 - 1 + 2 - \sqrt{3} - 3\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 10 - \sqrt{3} - 3 = 7 - \sqrt{3}$
9.（2024·苏州高新区二模）先化简，再求值：$\frac{1}{x + 1}-\frac{3x}{x^{2}+2x + 1}\div( )$，其中$x = \sqrt{3}-1$.
答案
原式$= \frac{3x}{(x + 1)^{2}} \div \frac{1 - (x + 1)}{x + 1} = \frac{3x}{(x + 1)^{2}} \cdot \frac{x + 1}{-x} = -\frac{3}{x + 1}$。当$x = \sqrt{3} - 1$时，原式$= -\frac{3}{\sqrt{3} - 1 + 1} = -\sqrt{3}$
