1一题多解 [2024 无锡惠山区期中]如果 $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4$，那么一定成立的是()

A.$a$ 是 $b$ 的相反数
B.$a$ 是 $b$ 的倒数
C.$a$ 是 $-b$ 的相反数
D.$a$ 是 $-b$ 的倒数

1 B 通解 因为$(a + b)^2 - (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab = 4$，所以$ab = 1$，所以$a$，$b$互为倒数。
另解 因为$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a + b + a - b)(a + b - a + b) = 2a · 2b = 4ab = 4$，所以$ab = 1$，所以$a$，$b$互为倒数。

2计算 $(a + 1)^2(a - 1)^2$ 的结果是()

A.$a^2 + 1$
B.$a^2 - 1$
C.$a^2 - 2a + 1$
D.$a^4 - 2a^2 + 1$

2 D $(a + 1)^2(a - 1)^2 = [(a + 1)(a - 1)]^2 = (a^2 - 1)^2 = a^4 - 2a^2 + 1$。

3新趋势·代数推理 [2025 福建师大附中期中]试说明代数式 $(2n - 3)^2 + (\frac{1}{4}m + 2n)(\frac{1}{4}m - 2n) + 12n$ 的值与 $n$ 无关。

3 解：$(2n - 3)^2 + (\frac{1}{4}m + 2n)(\frac{1}{4}m - 2n) + 12n$
$= 4n^2 - 12n + 9 + \frac{1}{16}m^2 - 4n^2 + 12n$
$= 9 + \frac{1}{16}m^2$。
因为$9 + \frac{1}{16}m^2$中不含字母$n$，
所以代数式$(2n - 3)^2 + (\frac{1}{4}m + 2n)(\frac{1}{4}m - 2n) + 12n$的值与$n$无关。

4[2025 淄博张店区月考]平方差公式和完全平方公式应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题。请阅读并解决下列问题。
问题一：已知 $(x + y - z)(x - y + z) = (A + B)(A - B)$。
(1) 则 $A =$，$B =$；
(2) 计算：$(2a - b + 3)(2a - 3 + b)$。
问题二：已知 $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - P = (x - y)^2 + Q$。
(1) 则 $P =$，$Q =$。
(2) 如图，已知长和宽分别为 $a$，$b$ 的长方形，它的周长为 14，面积为 10，求 $a^2 + b^2 + ab$ 的值。

4 解：问题一：(1)$x$ $y - z$或$z - y$
因为$(x + y - z)(x - y + z) = [x + (y - z)][x - (y - z)] = (A + B)(A - B)$，所以$A = x$，$B = y - z$或$z - y$。
(2)$(2a - b + 3)(2a - 3 + b)$
$= [2a - (b - 3)][2a + (b - 3)]$
$= 4a^2 - (b - 3)^2$
$= 4a^2 - b^2 + 6b - 9$。
问题二：(1)$2xy$ $2xy$
因为$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (x - y)^2 + 2xy$，所以$P = 2xy$，$Q = 2xy$。
(2)由题意得，$a + b = 7$，$ab = 10$，
所以$a^2 + b^2 + ab = a^2 + b^2 + 2ab - ab = (a + b)^2 - ab = 49 - 10 = 39$。

5[2025 枣庄一测]我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出了“杨辉三角”，如图所示，此图揭示了 $(a + b)^n$($n$ 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律。例如：$(a + b)^0 = 1$，它只有 1 项，系数为 1，系数和为 1；$(a + b)^1 = a + b$，它有 2 项，系数分别为 1，1，系数和为 2；$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，它有 3 项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4；$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$，它有 4 项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8……

根据以上规律，解答下列问题。
(1) $(a + b)^4$ 的展开式共有项，系数分别为。
(2) $(a + b)^n$ 的展开式共有项，系数和为。
(3) 计算：$2^5 + 5×2^4 + 10×2^3 + 10×2^2 + 5×2 + 1$。

5 解：(1)$5$ $1$，$4$，$6$，$4$，$1$
根据题意，知将$(a + b)^4$展开后，共有$5$项，各项系数分别为$1$，$1 + 3$，$3 + 3$，$3 + 1$，$1$，即$1$，$4$，$6$，$4$，$1$。
(2)$(n + 1)$ $2^n$
根据题意，得$(a + b)^n$的展开式共有$(n + 1)$项，$(a + b)^0$的系数和为$1 = 2^0$，$(a + b)^1$的系数和为$2 = 2^1$，$(a + b)^2$的系数和为$4 = 2^2$，$(a + b)^3$的系数和为$8 = 2^3$……由此规律可得，$(a + b)^n$的系数和为$2^n$。
(3)$2^5 + 5 × 2^4 + 10 × 2^3 + 10 × 2^2 + 5 × 2 + 1 = (2 + 1)^5 = 243$。