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见答案册第 21 页
活动一 认识进位制,探究不同进位制的数之间的转换
- 活动目标：认识进位制,理解不同进位制的数之间的转换以及进制数的加法运算,挖掘古代灿烂文明和现代科学技术的联系。
- 活动准备：查阅相关资料,初步了解二进制；查找第十四届国际数学教育大会(ICME - 14)标识及其介绍。
- 认识进位制：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统。约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制。也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几。
其他进制转换为十进制：把这个数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。
如：$(123)_7 = 1×7^2 + 2×7^1 + 3×7^0 = 66$,即$(123)_7 = 66$。
- 练习 1：$(10101)_2= $____；$(21)_8= $____。
- 十进制转换为$k$进制(除$k$取余法)：
示例：
$7\vert66…3$(第 1 位余数),$7\vert9…2$(第 2 位余数),$1…1$(第 3 位余数),即$66 = (123)_7$。
$2\vert5…1$(第 1 位余数),$2\vert2…0$(第 2 位余数),$1…1$(第 3 位余数),即$5 = (101)_2$。
也可以用除法式子转化。
- 练习 2：$89= $____$_7$；$35= $____$_5$。
- 非十进制之间的转换：先将待转换数转换为十进制,然后再转换为要转换的进制。
如上面问题中,$(123)_7 = 66 = (102)_8$。
- 练习 3：$(44)_5= $____$_2$。
活动二 探究进制数的加法运算
- 二进制加法法则：相同数位上数字相加,逢二进一。
如：$(10010)_2 + (111)_2$。
加法竖式：
|加数|1|0|0|1|0|
|加数| | |1|1|1|
|和|1|1|0|0|1|
转换为十进制检验：$18 + 7 = 25$,即$(10010)_2 + (111)_2 = (11001)_2$。
- 练习 4：
(1)$(110011)_2 + (10010)_2= $____$_2$。
(2)1 小时 25 分 + 2 小时 50 分 = ____小时____分。
(3)$(4323)_5 + (240)_5= $____$_5$。
- 练习 5：填表
|图标||[img]|[img]|[img]|
|二进制|$(011)_2$|$(111)_2$|$(100)_2$|$(101)_2$|
|十进制| | | | |
|看作八进制后转化为十进制| |____$_8= $____|
活动三 国际数学大会标识研究
- 拓展：你能结合上面的学习,进行十进制分数和二进制小数之间的转化吗？
- 例：把十进制分数或者小数转化为二进制小数。
比如：$0.125= \frac{1}{8}= 0×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}$,所以$\frac{1}{8}可以表示成二进制小数(0.001)_2$,记为$\frac{1}{8}= (0.001)_2$。
这里还可以把分子 1 和分母 8 都转化为二进制数,在二进制下用分子除以分母得到$\frac{1}{8}$的二进制小数表示：由于$1= (1)_2$,$8= (1000)_2$,所以$\frac{1}{8}= \frac{(1)_2}{(1000)_2}$。
而$\frac{(1)_2}{(1000)_2}= (1)_2÷(1000)_2$可以类比十进制数一样做除法,只是商和余数都只能是 0 或 1：
除法竖式：$\begin{array}{r}0.001\\1000\enclose{longdiv}{1.000}\\1000\\\hline0\end{array} $,所以$\frac{1}{8}= (0.001)_2$。
- 练习 6：将十进制分数转化成二进制小数：$\frac{5}{32}$,$\frac{1}{5}$。
巩固练习
活动一 认识进位制,探究不同进位制的数之间的转换
- 活动目标：认识进位制,理解不同进位制的数之间的转换以及进制数的加法运算,挖掘古代灿烂文明和现代科学技术的联系。
- 活动准备：查阅相关资料,初步了解二进制；查找第十四届国际数学教育大会(ICME - 14)标识及其介绍。
- 认识进位制：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统。约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制。也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几。
其他进制转换为十进制：把这个数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。
如：$(123)_7 = 1×7^2 + 2×7^1 + 3×7^0 = 66$,即$(123)_7 = 66$。
- 练习 1：$(10101)_2= $____；$(21)_8= $____。
- 十进制转换为$k$进制(除$k$取余法)：
示例：
$7\vert66…3$(第 1 位余数),$7\vert9…2$(第 2 位余数),$1…1$(第 3 位余数),即$66 = (123)_7$。
$2\vert5…1$(第 1 位余数),$2\vert2…0$(第 2 位余数),$1…1$(第 3 位余数),即$5 = (101)_2$。
也可以用除法式子转化。
- 练习 2：$89= $____$_7$；$35= $____$_5$。
- 非十进制之间的转换：先将待转换数转换为十进制,然后再转换为要转换的进制。
如上面问题中,$(123)_7 = 66 = (102)_8$。
- 练习 3：$(44)_5= $____$_2$。
活动二 探究进制数的加法运算
- 二进制加法法则：相同数位上数字相加,逢二进一。
如：$(10010)_2 + (111)_2$。
加法竖式：
|加数|1|0|0|1|0|
|加数| | |1|1|1|
|和|1|1|0|0|1|
转换为十进制检验：$18 + 7 = 25$,即$(10010)_2 + (111)_2 = (11001)_2$。
- 练习 4：
(1)$(110011)_2 + (10010)_2= $____$_2$。
(2)1 小时 25 分 + 2 小时 50 分 = ____小时____分。
(3)$(4323)_5 + (240)_5= $____$_5$。
- 练习 5：填表
|图标||[img]|[img]|[img]|
|二进制|$(011)_2$|$(111)_2$|$(100)_2$|$(101)_2$|
|十进制| | | | |
|看作八进制后转化为十进制| |____$_8= $____|
活动三 国际数学大会标识研究
- 拓展：你能结合上面的学习,进行十进制分数和二进制小数之间的转化吗？
- 例：把十进制分数或者小数转化为二进制小数。
比如：$0.125= \frac{1}{8}= 0×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{2^2}+1×\frac{1}{2^3}$,所以$\frac{1}{8}可以表示成二进制小数(0.001)_2$,记为$\frac{1}{8}= (0.001)_2$。
这里还可以把分子 1 和分母 8 都转化为二进制数,在二进制下用分子除以分母得到$\frac{1}{8}$的二进制小数表示：由于$1= (1)_2$,$8= (1000)_2$,所以$\frac{1}{8}= \frac{(1)_2}{(1000)_2}$。
而$\frac{(1)_2}{(1000)_2}= (1)_2÷(1000)_2$可以类比十进制数一样做除法,只是商和余数都只能是 0 或 1：
除法竖式：$\begin{array}{r}0.001\\1000\enclose{longdiv}{1.000}\\1000\\\hline0\end{array} $,所以$\frac{1}{8}= (0.001)_2$。
- 练习 6：将十进制分数转化成二进制小数：$\frac{5}{32}$,$\frac{1}{5}$。
巩固练习
答案
练习1 21;17
练习2
(155);
(120)
练习3
(11000)
练习4
(1)
(1000101)
(2)4;15
(3)
(10113)
练习5 3;7;4;5;
(3745);2021
练习6【解】$\frac{5}{32}=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}=(0.001)_2+(0.00001)_2=(0.00101)_2$;
$\frac{1}{5}=(1)_2÷(101)_2=(0.\dot{0}01\dot{1})_2$.
练习2
(155);
(120)
练习3
(11000)
练习4
(1)
(1000101)
(2)4;15
(3)
(10113)
练习5 3;7;4;5;
(3745);2021
练习6【解】$\frac{5}{32}=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}=(0.001)_2+(0.00001)_2=(0.00101)_2$;
$\frac{1}{5}=(1)_2÷(101)_2=(0.\dot{0}01\dot{1})_2$.
