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12. [新考法 逆向思维法]已知$A = 3a^{2}b - 2ab^{2} + abc$,小明同学错将“$2A - B$”看成“$2A + B$”,算得结果为$4a^{2}b - 3ab^{2} + 4abc$。
(1)求$B$；
(2)求$2A - B$。
(1)求$B$；
(2)求$2A - B$。
答案
【解】
(1)因为$2A+B=4a^{2}b-3ab^{2}+4abc,$所以$B=4a^{2}b-3ab^{2}+4abc-2A$$=4a^{2}b-3ab^{2}+4abc-2(3a^{2}b-2ab^{2}+abc)$$=4a^{2}b-3ab^{2}+4abc-6a^{2}b+4ab^{2}-2abc$$=-2a^{2}b+ab^{2}+2abc.$
(2)$2A-B=2(3a^{2}b-2ab^{2}+abc)-(-2a^{2}b+ab^{2}+$$2abc)$$=6a^{2}b-4ab^{2}+2abc+2a^{2}b-ab^{2}-2abc$$=8a^{2}b-5ab^{2}.$
(1)因为$2A+B=4a^{2}b-3ab^{2}+4abc,$所以$B=4a^{2}b-3ab^{2}+4abc-2A$$=4a^{2}b-3ab^{2}+4abc-2(3a^{2}b-2ab^{2}+abc)$$=4a^{2}b-3ab^{2}+4abc-6a^{2}b+4ab^{2}-2abc$$=-2a^{2}b+ab^{2}+2abc.$
(2)$2A-B=2(3a^{2}b-2ab^{2}+abc)-(-2a^{2}b+ab^{2}+$$2abc)$$=6a^{2}b-4ab^{2}+2abc+2a^{2}b-ab^{2}-2abc$$=8a^{2}b-5ab^{2}.$
13. 一个四位数的千位与个位的数字均为$m$,百位与十位的数字均为$n$,这个四位数能被$11$整除吗？请说明理由。
答案
【解】这个四位数能被11整除,理由如下：$1000m+100n+10n+m$$=1001m+110n$$=11(91m+10n).$因为$(91m+10n)$是整数，所以这个四位数能被11整除.
14. [立德树人 勤俭节约]一粥一饭当思来之不易,半丝半缕恒念物力维艰,为了让同学们养成良好的节约习惯,学生会倡导的勤工俭学活动效果显著,每个班级把本班的废弃试卷、书本进行分类整理,每周把废品统一卖出,钱款用于班级日常开支,上周七年级一、二、三班的同学通过勤工俭学活动“收入斐然”：一班收入$a$元,二班收入比一班收入的$2倍少80$元,三班收入比二班收入的一半多$100$元。
(1)用含$a$的式子表示三个班的上周总收入；
(2)当$a = 100$时,求三个班的上周总收入。
(1)用含$a$的式子表示三个班的上周总收入；
(2)当$a = 100$时,求三个班的上周总收入。
答案
【解】
(1)三个班的上周总收入是$a+2a-80+$$\frac {1}{2}(2a-80)+100$$=a+2a-80+a-40+100$$=4a-20$(元).
(2)当$a=100$时,三个班的上周总收入是$4×100-20=380$(元).
(1)三个班的上周总收入是$a+2a-80+$$\frac {1}{2}(2a-80)+100$$=a+2a-80+a-40+100$$=4a-20$(元).
(2)当$a=100$时,三个班的上周总收入是$4×100-20=380$(元).
15. [母题 教材 P105 活动 1]如图是 2025 年 9 月的月历。
(1)带阴影的十字框中的$5$个数之和与十字框中心的数有什么关系？
(2)不改变十字框的大小,如果将带阴影的十字框移至其他几个位置,你能得出什么结论？你知道为什么吗？
(3)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
(1)带阴影的十字框中的$5$个数之和与十字框中心的数有什么关系？
(2)不改变十字框的大小,如果将带阴影的十字框移至其他几个位置,你能得出什么结论？你知道为什么吗？
(3)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
答案
【解】
(1)带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.
(2)结论:带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍,理由如下:设十字框中心的数为x,则其余4个数分别为$x-7,x-1,x+1,x+7$,所以带阴影的十字框中的5个数之和为$(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=5x$,所以带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.
(3)这个结论对于任何一个月的月历都成立.
(1)带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.
(2)结论:带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍,理由如下:设十字框中心的数为x,则其余4个数分别为$x-7,x-1,x+1,x+7$,所以带阴影的十字框中的5个数之和为$(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=5x$,所以带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.
(3)这个结论对于任何一个月的月历都成立.
16. 若多项式$5x^{5} - 3x^{3} + (m - 4)x^{m}是关于x$的五次二项式,求$m$的值。
答案
【解】由题意知分三种情况:①当$m-4=0$时,解得$m=4$;②当$5x^{5},(m-4)x^{m}$为同类项时,此时$m=5$,故多项式变为$5x^{5}-3x^{3}+x^{5}=6x^{5}-3x^{3}$,满足题意;③当$-3x^{3},(m-4)x^{m}$为同类项时,此时$m=3$,故多项式变为$5x^{5}-3x^{3}-x^{3}=5x^{5}-4x^{3}$,满足题意.综上所述,$m=3$或$m=4$或$m=5.$
解析
【解】由题意分三种情况：
①当$m - 4 = 0$时，解得$m = 4$；
②当$5x^5$与$(m - 4)x^m$为同类项时，$m = 5$，多项式变为$5x^5 - 3x^3 + x^5 = 6x^5 - 3x^3$，满足题意；
③当$-3x^3$与$(m - 4)x^m$为同类项时，$m = 3$，多项式变为$5x^5 - 3x^3 - x^3 = 5x^5 - 4x^3$，满足题意。
综上所述，$m = 3$或$m = 4$或$m = 5$。
①当$m - 4 = 0$时，解得$m = 4$；
②当$5x^5$与$(m - 4)x^m$为同类项时，$m = 5$，多项式变为$5x^5 - 3x^3 + x^5 = 6x^5 - 3x^3$，满足题意；
③当$-3x^3$与$(m - 4)x^m$为同类项时，$m = 3$，多项式变为$5x^5 - 3x^3 - x^3 = 5x^5 - 4x^3$，满足题意。
综上所述，$m = 3$或$m = 4$或$m = 5$。
17. 已知$m^{2} + 2mn = 3$,$2n^{2} + 3mn = 5$,则$2m^{2} + 13mn + 6n^{2}$的值是( )
A.$18$
B.$19$
C.$20$
D.$21$
A.$18$
B.$19$
C.$20$
D.$21$
答案
D
解析
$\begin{aligned}2m^{2} + 13mn + 6n^{2}&=2(m^{2} + 2mn) + 3(2n^{2} + 3mn)\\&=2×3 + 3×5\\&=6 + 15\\&=21\end{aligned}$
D
D
18. 如图,在数轴上表示有理数$a$、$b$、$c$、$-2$的点的位置如图所示,若$m = |2a + b| - | - 2 - b| - |2a - 2c| - 4$,则$6(m + 2c - 1)^{2} + 3(m + 2c + 4)^{3}$的值是( )
A.$77$
B.$78$
C.$-77$
D.$-78$
A.$77$
B.$78$
C.$-77$
D.$-78$
答案
B 【点拨】由数轴可得$b＜a＜-2＜0＜c,$所以$2a+b＜0,-2-b＞0,2a-2c＜0.$所以$m=|2a+b|-|-2-b|-|2a-2c|-4$$=-2a-b-(-2-b)-(2c-2a)-4$$=-2a-b+2+b-2c+2a-4$$=-2c-2.$所以$m+2c=-2.$所以$6(m+2c-1)^{2}+3(m+2c+4)^{3}$$=6×(-2-1)^{2}+3×(-2+4)^{3}$$=78.$
