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1. $-2πxy$的系数是( )
A.$-2$
B.$-2π$
C.$2$
D.$2π$
A.$-2$
B.$-2π$
C.$2$
D.$2π$
答案
B
2. [2025深圳南山区期中]下列计算正确的是( )
A.$2a+3b= 5ab$
B.$x^{2}-(-3x^{2})= -2x^{2}$
C.$6n^{3}-5n^{2}= n$
D.$3m^{2}n-4nm^{2}= -m^{2}n$
A.$2a+3b= 5ab$
B.$x^{2}-(-3x^{2})= -2x^{2}$
C.$6n^{3}-5n^{2}= n$
D.$3m^{2}n-4nm^{2}= -m^{2}n$
答案
D
解析
A. $2a$与$3b$不是同类项，不能合并，故A错误；
B. $x^{2}-(-3x^{2})=x^{2}+3x^{2}=4x^{2}$，故B错误；
C. $6n^{3}$与$-5n^{2}$不是同类项，不能合并，故C错误；
D. $3m^{2}n-4nm^{2}=(3-4)m^{2}n=-m^{2}n$，故D正确。
D
B. $x^{2}-(-3x^{2})=x^{2}+3x^{2}=4x^{2}$，故B错误；
C. $6n^{3}$与$-5n^{2}$不是同类项，不能合并，故C错误；
D. $3m^{2}n-4nm^{2}=(3-4)m^{2}n=-m^{2}n$，故D正确。
D
3. 若多项式$(a-2)x^{|a|}-x+1是一个关于x$的二次三项式,则$a$的值为( )
A.$-2$
B.$2$
C.$-2或2$
D.$3$
A.$-2$
B.$2$
C.$-2或2$
D.$3$
答案
A
解析
因为多项式$(a - 2)x^{|a|}-x + 1$是关于$x$的二次三项式，所以最高次项次数为$2$，且系数不为$0$，同时多项式有三项。
1. 由最高次项次数为$2$可得：$|a|=2$，解得$a = 2$或$a=-2$；
2. 最高次项系数不为$0$：$a-2\neq0$，即$a\neq2$；
3. 多项式为三项式，此时已满足。
综上，$a=-2$。
A
1. 由最高次项次数为$2$可得：$|a|=2$，解得$a = 2$或$a=-2$；
2. 最高次项系数不为$0$：$a-2\neq0$，即$a\neq2$；
3. 多项式为三项式，此时已满足。
综上，$a=-2$。
A
4. 如果单项式$-3x^{a}y^{2}与x^{3}y^{b}$是同类项,则这两个单项式的和是( )
A.$2x^{2}y^{2}$
B.$-2x^{3}y^{2}$
C.$-2x^{6}y^{4}$
D.$-3x^{3}y^{2}$
A.$2x^{2}y^{2}$
B.$-2x^{3}y^{2}$
C.$-2x^{6}y^{4}$
D.$-3x^{3}y^{2}$
答案
B
解析
因为单项式$-3x^{a}y^{2}$与$x^{3}y^{b}$是同类项，所以$a = 3$，$b = 2$。
则这两个单项式分别为$-3x^{3}y^{2}$和$x^{3}y^{2}$，它们的和为：
$-3x^{3}y^{2} + x^{3}y^{2} = (-3 + 1)x^{3}y^{2} = -2x^{3}y^{2}$
B
则这两个单项式分别为$-3x^{3}y^{2}$和$x^{3}y^{2}$，它们的和为：
$-3x^{3}y^{2} + x^{3}y^{2} = (-3 + 1)x^{3}y^{2} = -2x^{3}y^{2}$
B
5. 下列代数式中：$2a,\frac {m-n}{6},\frac {3}{π}+a,\frac {5}{a-b},2(x^{2}-4)$,整式有( )
A.$4$个
B.$3$个
C.$2$个
D.$5$个
A.$4$个
B.$3$个
C.$2$个
D.$5$个
答案
A
解析
整式是单项式和多项式的统称，单项式是数或字母的积组成的式子，多项式是几个单项式的和。分母中含有字母的式子不是整式。
$2a$是单项式，是整式；
$\frac{m-n}{6}=\frac{m}{6}-\frac{n}{6}$是多项式，是整式；
$\frac{3}{\pi}+a$，$\pi$是常数，所以是多项式，是整式；
$\frac{5}{a-b}$分母中含有字母，不是整式；
$2(x^2 - 4)=2x^2 - 8$是多项式，是整式。
整式有$2a,\frac{m-n}{6},\frac{3}{\pi}+a,2(x^2 - 4)$，共4个。
A
$2a$是单项式，是整式；
$\frac{m-n}{6}=\frac{m}{6}-\frac{n}{6}$是多项式，是整式；
$\frac{3}{\pi}+a$，$\pi$是常数，所以是多项式，是整式；
$\frac{5}{a-b}$分母中含有字母，不是整式；
$2(x^2 - 4)=2x^2 - 8$是多项式，是整式。
整式有$2a,\frac{m-n}{6},\frac{3}{\pi}+a,2(x^2 - 4)$，共4个。
A
6. [2025天津红桥区期中]如图,数轴上两点分别对应有理数$a,b$,则化简$|a-b|-|a+b|$的结果是( )
A.$2a$
B.$-2b$
C.$2b$
D.$-2a$
A.$2a$
B.$-2b$
C.$2b$
D.$-2a$
答案
A 【点拨】根据数轴可知，b＜-1＜0＜a＜1，|a|＜|b|，所以a-b＞0，a+b＜0，所以|a-b|-|a+b|=a-b+(a+b)=a-b+a+b=2a.
7. 如图,在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①②③,若要求出阴影部分周长的差,只需知道$a,b,c,d$中的一个量即可,则要知道的那个量是( )
A.$a$
B.$b$
C.$c$
D.$d$
A.$a$
B.$b$
C.$c$
D.$d$
答案
B 【点拨】观察题图可知，正方形①的边长为c，正方形②的边长为b，正方形③的边长为a，则C阴影六边形=2a+2b+2(d-a)=2b+2d，C阴影四边形=2c+2(d-c)=2d，所以C阴影六边形-C阴影四边形=2b+2d-2d=2b，即要知道的那个量是b.
8. [2025常州期中]用长度相同的木棒按如图所示的规律拼图案,其中第1个图案用了9根木棒,第2个图案用了14根木棒,第3个图案用了19根木棒,第4个图案用了24根木棒,…,按此规律拼下去,则第$n$个图案用的木棒根数是( )
A.$6n+4$
B.$6n+3$
C.$5n+4$
D.$5n+3$
A.$6n+4$
B.$6n+3$
C.$5n+4$
D.$5n+3$
答案
C
解析
第1个图案：9根
第2个图案：14根，比第1个多5根
第3个图案：19根，比第2个多5根
第4个图案：24根，比第3个多5根
规律：每个图案比前一个多5根木棒，首项为9，公差为5的等差数列
第n个图案木棒数：$9 + 5(n-1) = 5n + 4$
C
第2个图案：14根，比第1个多5根
第3个图案：19根，比第2个多5根
第4个图案：24根，比第3个多5根
规律：每个图案比前一个多5根木棒，首项为9，公差为5的等差数列
第n个图案木棒数：$9 + 5(n-1) = 5n + 4$
C
9. 新视角 结论开放题 请写出$2m$的一个同类项：______.
答案
m(答案不唯一)
10. 若一个多项式减去$3x^{2}-x等于x-1$,则这个多项式是______.
答案
3x²-1
解析
设这个多项式为$A$，由题意得$A - (3x^{2} - x) = x - 1$，则$A = (3x^{2} - x) + (x - 1) = 3x^{2} - x + x - 1 = 3x^{2} - 1$。
$3x^{2}-1$
$3x^{2}-1$
11. [2025成都武侯区月考]若$a和b$互为相反数,$c和d$互为倒数,$|m|= 1$,那么代数式$\frac {a+b}{2025}-12cd+m$的值为______.
答案
-11或-13 【点拨】由题意得，a+b=0，cd=1，m=±1，当m=1时，$\frac{a+b}{2025}-12cd+m=\frac{0}{2025}-12×1+1=-11$；当m=-1时，$\frac{a+b}{2025}-12cd+m=\frac{0}{2025}-12×1-1=-13$.综上所述，代数式$\frac{a+b}{2025}-12cd+m$的值为-11或-13.
解析
由题意得，$a + b = 0$，$cd = 1$，$m = \pm 1$。
当$m = 1$时，$\frac{a + b}{2025}-12cd + m=\frac{0}{2025}-12×1 + 1=-11$；
当$m=-1$时，$\frac{a + b}{2025}-12cd + m=\frac{0}{2025}-12×1-1=-13$。
-11或-13
当$m = 1$时，$\frac{a + b}{2025}-12cd + m=\frac{0}{2025}-12×1 + 1=-11$；
当$m=-1$时，$\frac{a + b}{2025}-12cd + m=\frac{0}{2025}-12×1-1=-13$。
-11或-13
12. 新视角 新定义题 定义一种新运算$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad-bc$.如：$\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix} = 2×5-3×4= -2$.若$\begin{vmatrix}-x+1&k\\3-x&2\end{vmatrix} 的值与x$的取值无关,则$\begin{vmatrix}-x+1&k\\3-x&2\end{vmatrix} $的值为______.
答案
-4 【点拨】由题意可得$\begin{vmatrix}-x+1&k\\3-x&2\end{vmatrix}=2(-x+1)-k(3-x)=-2x+2-3k+kx=(k-2)x+2-3k$.因为$\begin{vmatrix}-x+1&k\\3-x&2\end{vmatrix}$的值与x的取值无关，所以k-2=0，所以k=2，所以$\begin{vmatrix}-x+1&k\\3-x&2\end{vmatrix}=2-3×2=-4$.
解析
由题意可得：
$\begin{vmatrix}-x+1&k\\3-x&2\end{vmatrix}=2(-x+1)-k(3-x)$
$= -2x + 2 - 3k + kx$
$= (k - 2)x + 2 - 3k$
因为该式的值与$x$的取值无关，所以$k - 2 = 0$，解得$k = 2$。
将$k = 2$代入，可得：
$\begin{vmatrix}-x+1&2\\3-x&2\end{vmatrix}=2 - 3×2 = -4$
-4
$\begin{vmatrix}-x+1&k\\3-x&2\end{vmatrix}=2(-x+1)-k(3-x)$
$= -2x + 2 - 3k + kx$
$= (k - 2)x + 2 - 3k$
因为该式的值与$x$的取值无关，所以$k - 2 = 0$，解得$k = 2$。
将$k = 2$代入，可得：
$\begin{vmatrix}-x+1&2\\3-x&2\end{vmatrix}=2 - 3×2 = -4$
-4
13. [2025杭州期中]将9个代数式填入九宫格的方格中,使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等.已知九宫格中的部分代数式如图所示,则$M-N= $______.(用含有$x$的代数式表示)
答案
$-2x^{2}+4x$ 【点拨】设最中间的代数式为P，由题意可得$(x^{2}-x)+(x-1)+N=(x^{2}-x)+P+(x^{2}-x-1)$，所以$P=-x^{2}+2x+N$，所以第一列中间的代数式为$(x^{2}-x)+(x-1)+N-(x-x^{2}+2x+N)=2x^{2}-3x-1$.因为第一列的三个代数式之和=第三行的三个代数式之和，所以$M+(2x^{2}-3x-1)+(x^{2}-x)=(x^{2}-x)+(x-1)+N$，所以$M-N=-2x^{2}+4x$.
解析
设最中间的代数式为$P$。
由第一行与主对角线的和相等，可得：
$(x^{2}-x)+(x-1)+N=(x^{2}-x)+P+(x^{2}-x-1)$
化简得：
$x^{2}-1+N=x^{2}-x-1+P+x^{2}$
$P=-x^{2}+2x+N$
设第一列中间的代数式为$Q$，由第一列与第三列的和相等（或其他行列和关系），可得第一列三个代数式之和为$(x^{2}-x)+Q+(x-x^{2}+2x+N)$，又因为第一行和为$x^{2}-1+N$，所以：
$(x^{2}-x)+Q+(x-x^{2}+2x+N)=x^{2}-1+N$
化简得：
$Q=2x^{2}-3x-1$
由第一列的三个代数式之和等于第三行的三个代数式之和，可得：
$M+(2x^{2}-3x-1)+(x^{2}-x)=(x^{2}-x)+(x-1)+N$
化简得：
$M+3x^{2}-4x-1=x^{2}-1+N$
$M= -2x^{2}+4x + N$
$M - N=-2x^{2}+4x$
$-2x^{2}+4x$
由第一行与主对角线的和相等，可得：
$(x^{2}-x)+(x-1)+N=(x^{2}-x)+P+(x^{2}-x-1)$
化简得：
$x^{2}-1+N=x^{2}-x-1+P+x^{2}$
$P=-x^{2}+2x+N$
设第一列中间的代数式为$Q$，由第一列与第三列的和相等（或其他行列和关系），可得第一列三个代数式之和为$(x^{2}-x)+Q+(x-x^{2}+2x+N)$，又因为第一行和为$x^{2}-1+N$，所以：
$(x^{2}-x)+Q+(x-x^{2}+2x+N)=x^{2}-1+N$
化简得：
$Q=2x^{2}-3x-1$
由第一列的三个代数式之和等于第三行的三个代数式之和，可得：
$M+(2x^{2}-3x-1)+(x^{2}-x)=(x^{2}-x)+(x-1)+N$
化简得：
$M+3x^{2}-4x-1=x^{2}-1+N$
$M= -2x^{2}+4x + N$
$M - N=-2x^{2}+4x$
$-2x^{2}+4x$
14. (10分)化简：
(1)$2(a^{2}+3b^{3})-\frac {1}{3}(9a^{2}-12b^{3})+2(a^{2}-6b^{3})$；
(2)$5x^{2}-7x-[3x^{2}+2(x^{2}-4x-1)]$.
(1)$2(a^{2}+3b^{3})-\frac {1}{3}(9a^{2}-12b^{3})+2(a^{2}-6b^{3})$；
(2)$5x^{2}-7x-[3x^{2}+2(x^{2}-4x-1)]$.
答案
【解】
(1)原式$=2a^{2}+6b^{3}-3a^{2}+4b^{3}+2a^{2}-12b^{3}=a^{2}-2b^{3}$.
(2)原式$=5x^{2}-7x-3x^{2}-2x^{2}+8x+2=x+2$.
(1)原式$=2a^{2}+6b^{3}-3a^{2}+4b^{3}+2a^{2}-12b^{3}=a^{2}-2b^{3}$.
(2)原式$=5x^{2}-7x-3x^{2}-2x^{2}+8x+2=x+2$.
