12[2025 广州中学期中]已知$x^{2} - 2x + 1 = 0$，则代数式$x(2 - x) - 3$的值为()

A.$0$
B.$-1$
C.$-2$
D.$-3$

12 C 因为x² - 2x + 1 = 0，所以x² - 2x = -1，所以x(2 - x) - 3 = 2x - x² - 3 = -(x² - 2x) - 3 = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2。

13[2025 济南市中区月考]观察下列两个多项式相乘的运算过程：

根据你发现的规律，若$(x + a)(x + b) = x^{2} - 7x + 12$，则$a$，$b$的值可能分别是()

A.$-3$，$-4$
B.$-3$，$4$
C.$3$，$-4$
D.$3$，$4$

13 A 根据题意，得a + b = -7，ab = 12，结合选项，知a，b的值可能分别是 -3， -4。

14[2025 南阳月考]已知$A = x^{2} + 3x - a$，$B = - x$，$C = x^{3} + 3x^{2} + 5$，若$A· B + C$的值与$x$的取值无关，则当$x = - 4$时，$A$的值为()

A.$0$
B.$4$
C.$-4$
D.$2$

14 B 因为A = x² + 3x - a，B = -x，C = x³ + 3x² + 5，所以A·B + C = (x² + 3x - a)(-x) + (x³ + 3x² + 5) = -x³ - 3x² + ax + x³ + 3x² + 5 = ax + 5，因为A·B + C的值与x的取值无关，所以a = 0，所以A = x² + 3x - a = x² + 3x。当x = -4时，A = (-4)² + 3×(-4) = 4。

15新趋势·代数推理[2025 平顶山期中]若$n$为整数，则代数式$(3n + 3)(n + 3) - 6$的值一定可以()

A.被$9$整除
B.被$6$整除
C.被$3$整除
D.被$2$整除

15 C (3n + 3)(n + 3) - 6 = 3n² + 12n + 9 - 6 = 3n² + 12n + 3 = 3(n² + 4n + 1)，所以该代数式的值一定可以被3整除。

16教材 P32T15 变式[2025 石家庄长安区期末]某班级布置教室，需要制作一些边长如图所示的$A$，$B$，$C$三种彩色卡片，其中$a ＞ b$，最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为$(3a + 5b)$和$(2a + 3b)$的大长方形，那么所准备的$C$种卡片的张数不能少于张。

16 19 (3a + 5b)(2a + 3b) = 6a² + 9ab + 10ab + 15b² = 6a² + 19ab + 15b²，则ab的系数为19，即所准备的C种卡片的张数不能少于19张。

17[2024 佛山梁开中学月考]在计算$(2x + a)(x + b)$时，甲错把$b$看成了$6$，得到的结果是$2x^{2} + 8x - 24$；乙错把$a$看成了$-a$，得到的结果是$2x^{2} + 14x + 20$。
(1)求$a$，$b$的值；
(2)计算$(2x + a)(x + b)$的结果。

17 解：(1)甲错把b看成了6，
(2x + a)(x + 6)
= 2x² + 12x + ax + 6a
= 2x² + (12 + a)x + 6a
= 2x² + 8x - 24，
所以12 + a = 8，解得a = -4。
乙错把a看成了 -a，
(2x - a)(x + b)
= 2x² + 2bx - ax - ab
= 2x² + (2b - a)x - ab
= 2x² + 14x + 20，
所以2b - a = 14，
把a = -4代入，得b = 5。
(2)由(1)得a = -4，b = 5，
所以(2x + a)(x + b) = (2x - 4)(x + 5) = 2x² + 10x - 4x - 20 = 2x² + 6x - 20。

18几何直观如图，两个形状、大小相同的长方形$ABCD$和长方形$AEFG$，点$E$在$AB$边上，$AB = a$，$BC = b$，且$a ＞ b ＞ 0$。
(1)图 1 中阴影部分的面积为。(用含$a$，$b$的代数式表示)
(2)如图 2，分别连接$BD$，$DF$，$BF$，试比较三角形$ABD$与三角形$DFG$面积的大小，并说明理由。
(3)求图 2 中阴影部分的面积。(用含$a$，$b$的代数式表示)

【回顾与思考】
本章先学习幂的运算再学习整式的乘法，对于这样的顺序你是如何理解的？

18 解：(1)b²
题图1中阴影部分的面积为AE·AD = b²。
(2)S三角形ABD ＞ S三角形DFG。理由如下：
S三角形ABD = $\frac{1}{2}ab$，S三角形DFG = $\frac{1}{2}b(a - b) = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b²$。
因为S三角形ABD - S三角形DFG = $\frac{1}{2}ab - (\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b²) = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b² = \frac{1}{2}b²$，a ＞ b ＞ 0，
所以$\frac{1}{2}b²$ ＞ 0，所以S三角形ABD ＞ S三角形DFG。
(3)如图，延长BC，GF交于点I。S阴影 = S正方形ABIG - S三角形ABD - S三角形DFG - S三角形BIF = a² - $\frac{1}{2}ab$ - $\frac{1}{2}(a - b)b$ - $\frac{1}{2}a(a - b)$ = a² - $\frac{1}{2}ab$ - $\frac{1}{2}ab$ + $\frac{1}{2}b²$ - $\frac{1}{2}a²$ + $\frac{1}{2}ab$ = $\frac{1}{2}a²$ + $\frac{1}{2}b²$ - $\frac{1}{2}ab$。