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1[2024 兰州中考]计算：$2a(a - 1) - 2a^{2} =$(
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
D
)A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
答案
1 D 2a(a - 1) - 2a² = 2a² - 2a - 2a² = -2a。
2[2025 重庆沙坪坝区调研]今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：$-7xy(2y - x - 3) = -14xy^{2} + 7x^{2}y□$，$□$的地方被钢笔水弄污了，你认为$□$内应填写(
A.$+21xy$
B.$-21xy$
C.$-3$
D.$-10xy$
A
)A.$+21xy$
B.$-21xy$
C.$-3$
D.$-10xy$
答案
2 A -7xy(2y - x - 3) = -14xy² + 7x²y + 21xy，所以□内应填写+21xy。
3[2024 菏泽期中]要使$(y^{2} - ky + 2y)( - y)$的展开式中不含$y^{2}$项，则$k$的值为(
A.$-2$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
C
)A.$-2$
B.$0$
C.$2$
D.$3$
答案
3 C (y² - ky + 2y)(-y) = -y³ + ky² - 2y² = -y³ + (k - 2)y²，因为展开式中不含y²项，所以k - 2 = 0，解得k = 2。
解题通法
解决不含项问题的方法
(1)根据整式的乘法法则将代数式展开，并合并同类项；(2)根据展开式中不含哪一项(或代数式的值与某未知数的值无关)，把该项的系数看成0；(3)列关于所求字母的方程，解方程。
解题通法
解决不含项问题的方法
(1)根据整式的乘法法则将代数式展开，并合并同类项；(2)根据展开式中不含哪一项(或代数式的值与某未知数的值无关)，把该项的系数看成0；(3)列关于所求字母的方程，解方程。
4计算：
(1)$( - 2x^{2}y)·(3xyz - 2y^{2}z + 1)$；
(2)$(\frac{2}{3}a^{2}b - 3ab^{2})·3ab$。
(1)$( - 2x^{2}y)·(3xyz - 2y^{2}z + 1)$；
(2)$(\frac{2}{3}a^{2}b - 3ab^{2})·3ab$。
答案
4 解：(1)(-2x²y)·(3xyz - 2y²z + 1) = -6x³y²z + 4x²y³z - 2x²y。
(2)($\frac{2}{3}a²b - 3ab²$)·3ab
=$\frac{2}{3}a²b·3ab - 3ab²·3ab$
= 2a³b² - 9a²b³。
归纳总结
单项式与多项式相乘的关键点
(1)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须合并同类项，得到最简结果；(2)在确定积的每一项的符号时，既要看单项式的符号，又要看多项式中各项的符号；(3)非零单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与多项式的项数相同。
(2)($\frac{2}{3}a²b - 3ab²$)·3ab
=$\frac{2}{3}a²b·3ab - 3ab²·3ab$
= 2a³b² - 9a²b³。
归纳总结
单项式与多项式相乘的关键点
(1)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须合并同类项，得到最简结果；(2)在确定积的每一项的符号时，既要看单项式的符号，又要看多项式中各项的符号；(3)非零单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与多项式的项数相同。
5[2025 长春朝阳区月考]代数式$3a(a^{2} + ab) - 6a^{3}b + 5a^{2} + 3ab(2a^{2} - a)$的值(
A.与字母$a$，$b$都有关
B.只与$a$有关
C.只与$b$有关
D.与字母$a$，$b$都无关
B
)A.与字母$a$，$b$都有关
B.只与$a$有关
C.只与$b$有关
D.与字母$a$，$b$都无关
答案
5 B 3a(a² + ab) - 6a³b + 5a² + 3ab(2a² - a) = 3a³ + 3a²b - 6a³b + 5a² + 6a³b - 3a²b = 3a³ + 5a²，所以代数式3a(a² + ab) - 6a³b + 5a² + 3ab(2a² - a)的值只与a有关。
6[2024 青岛崂山实验学校月考]一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽$a$m，下底宽$(a + 2b)$m，坝高$\frac{1}{2}a$m，则该防洪堤坝的横断面积为
$(\frac{1}{2}a² + \frac{1}{2}ab)$
$m^{2}$。答案
6 ($\frac{1}{2}a² + \frac{1}{2}ab$) 该防洪堤坝的横断面积为$\frac{1}{2}[a + (a + 2b)]×\frac{1}{2}a = \frac{1}{4}a(2a + 2b) = (\frac{1}{2}a² + \frac{1}{2}ab)(m²)$。
7[2025 泉州一中月考]计算：$(x - 5y)(2x + y) =$
$2x² - 9xy - 5y²$
。答案
7 2x² - 9xy - 5y² (x - 5y)(2x + y) = 2x² + xy - 10xy - 5y² = 2x² - 9xy - 5y²。
8[2025 周口淮阳区期末]小明在计算$(x - 2)(x + ■)$时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为$-1$，则被染黑的常数为
1
。答案
8 1 设■=a，则(x - 2)(x +
) = (x - 2)(x + a) = x² + ax - 2x - 2a = x² + (a - 2)x - 2a，因为结果中的一次项系数为 -1，所以a - 2 = -1，解得a = 1。9[2025 银川期中]已知$m + n = 2$，$mn = - 1$，则$(1 - m)(1 - n)$的值是
-2
。答案
9 -2 (1 - m)(1 - n) = 1 - n - m + mn = 1 - (m + n) + mn，因为m + n = 2，mn = -1，所以原式 = 1 - 2 + (-1) = -2。
10计算：
(1)$( - x + 2y)(x - 5y)$；
(2)$(2x - \frac{1}{3})(\frac{1}{2}x^{2} + 2x + 1)$。
(1)$( - x + 2y)(x - 5y)$；
(2)$(2x - \frac{1}{3})(\frac{1}{2}x^{2} + 2x + 1)$。
答案
10 解：(1)(-x + 2y)(x - 5y)
= -x² + 5xy + 2xy - 10y²
= -x² + 7xy - 10y²。
(2)(2x - $\frac{1}{3}$)($\frac{1}{2}x²$ + 2x + 1)
= x³ + 4x² + 2x - $\frac{1}{6}x²$ - $\frac{2}{3}x$ - $\frac{1}{3}$
= x³ + $\frac{23}{6}x²$ + $\frac{4}{3}x$ - $\frac{1}{3}$。
= -x² + 5xy + 2xy - 10y²
= -x² + 7xy - 10y²。
(2)(2x - $\frac{1}{3}$)($\frac{1}{2}x²$ + 2x + 1)
= x³ + 4x² + 2x - $\frac{1}{6}x²$ - $\frac{2}{3}x$ - $\frac{1}{3}$
= x³ + $\frac{23}{6}x²$ + $\frac{4}{3}x$ - $\frac{1}{3}$。
11教材 P15 观察·思考变式[2025 广州铁一中期中]如图，某小区有一块长为$(a + 4b)$m、宽为$(a + 3b)$m 的长方形地块，物业公司计划在地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为$a$m，并将阴影部分进行绿化。
(1)用含有$a$，$b$的式子表示绿化的总面积$S$；(结果化为最简形式)
(2)若$a = 1$，$b = 4$，求出此时绿化的总面积$S$。
(1)用含有$a$，$b$的式子表示绿化的总面积$S$；(结果化为最简形式)
(2)若$a = 1$，$b = 4$，求出此时绿化的总面积$S$。
答案
11 解：(1)由题意，得S = (a + 3b)(a + 4b) - a(a + 4b) = a² + 4ab + 3ab + 12b² - a² - 4ab = (12b² + 3ab)(m²)。
(2)当a = 1，b = 4时，S = 12×4² + 3×1×4 = 204(m²)，所以此时绿化的总面积S为204m²。
(2)当a = 1，b = 4时，S = 12×4² + 3×1×4 = 204(m²)，所以此时绿化的总面积S为204m²。
