5. (2023·盐城中考)定义:若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点,并且都在坐标轴上,则称二次函数为一次函数的轴点函数.
【初步理解】
(1)现有以下两个函数:①$y = x^{2}-1$;②$y = x^{2}-x$,其中,____为函数 $y = x - 1$ 的轴点函数.(填序号)
【尝试应用】
(2)函数 $y = x + c$($c$ 为常数,$c\gt 0$)的图像与 $x$ 轴交于点 $A$,其轴点函数 $y = ax^{2}+bx + c$ 与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$.若 $OB= \frac{1}{4}OA$,求 $b$ 的值.
【拓展延伸】
(3)如图,函数 $y= \frac{1}{2}x + t$($t$ 为常数,$t\gt 0$)的图像与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $M$、$C$ 两点,在 $x$ 轴的正半轴上取一点 $N$,使得 $ON = OC$. 以线段 $MN$ 的长度为长、线段 $MO$ 的长度为宽,在 $x$ 轴的上方作矩形 $MNDE$.若函数 $y= \frac{1}{2}x + t$($t$ 为常数,$t\gt 0$)的轴点函数 $y = mx^{2}+nx + t$ 的顶点 $P$ 在矩形 $MNDE$ 的边上,求 $n$ 的值.
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6. (2023·北京中考)在平面直角坐标系 $xOy$ 中,$\odot O$ 的半径为 $1$.对于 $\odot O$ 的弦 $AB$ 和 $\odot O$ 外一点 $C$ 给出如下定义:若直线 $CA$,$CB$ 中一条经过点 $O$,另一条是 $\odot O$ 的切线,则称点 $C$ 是弦 $AB$ 的“关联点”.
(1)如图,点 $A(-1,0)$、$B_{1}(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$、$B_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
①在点 $C_{1}(-1,1)$、$C_{2}(-\sqrt{2},0)$、$C_{3}(0,\sqrt{2})$ 中,弦 $AB_{1}$ 的“关联点”是____;
②若点 $C$ 是弦 $AB_{2}$ 的“关联点”,直接写出 $OC$ 的长.
(2)已知点 $M(0,3)$、$N(\frac{6\sqrt{5}}{5},0)$,对于线段 $MN$ 上一点 $S$,存在 $\odot O$ 的弦 $PQ$,使得点 $S$ 是弦 $PQ$ 的“关联点”.记 $PQ$ 的长为 $t$,当点 $S$ 在线段 $MN$ 上运动时,直接写出 $t$ 的取值范围.
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