7[2024 咸阳实验中学月考]若$a^{3m + n}=108$，$a^{m}=6$，则$a^{n}$的值为()

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{1}{3}$
D.$3$

7 A 因为$a^{3m+n}=a^{3m}· a^{n}=(a^{m})^{3}· a^{n}=108,a^{m}=6$,所以$6^{3}· a^{n}=108$,所以$a^{n}=\frac {1}{2}$。

[变式][2024 金华四校期中联考]若$4^{m}=18$，$8^{n}=9$，则$2^{2m - 3n + 1}$的值为()

A.$11$
B.$3$
C.$4$
D.$164$

变式 C 因为$4^{m}=18,8^{n}=9$,所以$2^{2m-3n+1}=2^{2m}÷2^{3n}×2=(2^{2})^{m}÷(2^{3})^{n}×2=4^{m}÷8^{n}×2=18÷9×2=4$。

8 [2025 贵港覃塘区期中]已知$a = 2^{10}$，$b = 3^{8}$，$c = 5^{6}$，$d = 6^{4}$，那么$a$，$b$，$c$，$d$的大小顺序为()

A.$a ＜ b ＜ c ＜ d$
B.$a ＜ b ＜ d ＜ c$
C.$b ＜ a ＜ c ＜ d$
D.$a ＜ d ＜ b ＜ c$

8 D 因为$a=2^{10},b=3^{8},c=5^{6},d=6^{4}$,所以$a=(2^{5})^{2}=32^{2},b=(3^{4})^{2}=81^{2},c=5^{6}=(5^{3})^{2}=125^{2},d=(6^{2})^{2}=36^{2}$,又因为$32＜36＜81＜125$,所以$32^{2}＜36^{2}＜81^{2}＜125^{2}$,即$a＜d＜b＜c$。(化为相同指数,比较底数的大小)

[变式][2025 乌兰察布期末]在比较$2^{24}$和$5^{10}$的大小时，老师给出了如下的方法：
$2^{24}=2^{7× 3}× 2^{3}=(2^{7})^{3}× 2^{3}=128^{3}× 8$，
$5^{10}=5^{3× 3}× 5^{1}=(5^{3})^{3}× 5^{1}=125^{3}× 5$。
因为$128 ＞ 125$，$8 ＞ 5$，所以$2^{24} ＞ 5^{10}$。
仿照上面的方法，$3^{57}$和$6^{34}$的大小关系为()

A.$3^{57} ＜ 6^{34}$
B.$3^{57} ＞ 6^{34}$
C.$3^{57}=6^{34}$
D.无法比较

变式 B $3^{57}=3^{5×11}×3^{2}=(3^{5})^{11}×3^{2}=243^{11}×9,6^{34}=6^{3×11}×6=(6^{3})^{11}×6=216^{11}×6$,因为$243＞216,9＞6$,所以$3^{57}＞6^{34}$。

9 [2025 盐城月考]计算：
（1）$(-0.125)^{12}× (-1\frac{2}{3})^{7}× (-8)^{13}× (-\frac{3}{5})^{9}$；
（2）$0.25^{2024}× (-4)^{2025}-8^{675}× 0.5^{2025}$。

9 解:(1)$(-0.125)^{12}×(-1\frac {2}{3})^{7}×(-8)^{13}×(-\frac {3}{5})^{9}$
$=(-\frac {1}{8})^{12}×(-\frac {5}{3})^{7}×(-8)^{13}×(-\frac {3}{5})^{9}$
$=(-\frac {1}{8})^{12}×(-8)^{13}×(-\frac {5}{3})^{7}×(-\frac {3}{5})^{9}$
$=(-\frac {1}{8})^{12}×(-8)^{12}×(-8)×(-\frac {5}{3})^{7}×(-\frac {3}{5})^{7}×(-\frac {3}{5})^{2}$
$=(-8)×(-\frac {3}{5})^{2}$
$=-8×\frac {9}{25}$
$=-\frac {72}{25}$。
(2)$0.25^{2024}×(-4)^{2025}-8^{675}×0.5^{2025}$
$=0.25^{2024}×(-4)^{2024}×(-4)-(2^{3})^{675}×0.5^{2025}$
$=0.25^{2024}×(-4)^{2024}×(-4)-2^{2025}×0.5^{2025}$
$=[0.25×(-4)]^{2024}×(-4)-(2×0.5)^{2025}$
$=(-1)^{2024}×(-4)-1^{2025}$
$=-4-1$
$=-5$。

10 新趋势·代数推理 [2025 泰州月考]试说明$5^{2}· 3^{2n + 1}· 2^{n}-3^{n}· 6^{n + 2}$能被$13$整除。（$n$为自然数）

10 解题思路:先逆用同底数幂的乘法运算性质将$3^{2n+1}$与$6^{n+2}$分别变形为$3^{2n}· 3$及$6^{n}· 6^{2}$,然后逆用幂的乘方与积的乘方运算性质得出$3^{2n}· 2^{n}=(3^{2})^{n}· 2^{n}=9^{n}· 2^{n}=18^{n},3^{n}· 6^{n}=(3×6)^{n}=18^{n}$,再合并同类项得出原式为$13×3· 18^{n}$,从而得出$5^{2}· 3^{2n+1}· 2^{n}-3^{n}· 6^{n+2}$能被13整除。
解:$5^{2}· 3^{2n+1}· 2^{n}-3^{n}· 6^{n+2}$
$=5^{2}· (3^{2n}· 3)· 2^{n}-3^{n}· (6^{n}· 6^{2})$
$=75· 3^{2n}· 2^{n}-36· 3^{n}· 6^{n}$
$=75· 18^{n}-36· 18^{n}$
$=39· 18^{n}$
$=13×3· 18^{n}$。
因为$3· 18^{n}$是整数,所以$5^{2}· 3^{2n+1}· 2^{n}-3^{n}· 6^{n+2}$能被13整除。

11 [2025 宿州期中]已知$2^{m}=3$，$2^{n}=9$，$2^{p}=81$。
(1)求$4^{m}$的值；
(2)求$4^{m + n - p}$的值；
(3)字母$m$，$n$，$p$之间的数量关系为。

11 解:(1)因为$2^{m}=3$,所以$4^{m}=(2^{2})^{m}=(2^{m})^{2}=3^{2}=9$。
(2)因为$2^{m}=3,2^{n}=9,2^{p}=81$,所以$4^{m+n-p}=4^{m}· 4^{n}÷4^{p}=(2^{m})^{2}· (2^{n})^{2}÷(2^{p})^{2}=3^{2}×9^{2}÷81^{2}=\frac {9×9×9}{81×81}=\frac {1}{9}$。
(3)$p=2m+n$
因为$2^{m}=3,2^{n}=9,2^{p}=81$,所以$(2^{m})^{2}· 2^{n}=3^{2}×9=81$,所以$(2^{m})^{2}· 2^{n}=2^{p}$,所以$2^{2m+n}=2^{p}$,所以$2m+n=p$。