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1. (2023·南京)已知甲、乙两地相距100 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度v(km/h)之间的函数图像是 （ ）
答案
D
2. (2024·连云港)杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂. 已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F N，动力臂为l m，则F关于l的函数表达式为_______.
答案
$F = \frac{800}{l}$
3. (2023·扬州)近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔的需求量增大. 某商店购进甲、乙两种头盔，已知购进甲种头盔20个、乙种头盔30个，共花费2 920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价贵11元.
(1) 甲、乙两种头盔的单价各是多少元?
(2) 该商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40个，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的8折出售，乙种头盔每个降价6元出售. 如果此次购进甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么当购进多少个甲种头盔时，此次购进头盔的总费用最少? 最少总费用是多少元?
(1) 甲、乙两种头盔的单价各是多少元?
(2) 该商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40个，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的8折出售，乙种头盔每个降价6元出售. 如果此次购进甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么当购进多少个甲种头盔时，此次购进头盔的总费用最少? 最少总费用是多少元?
答案
(1) 设甲种头盔的单价为$x$元，乙种头盔的单价为$y$元. 根据题意，得$\begin{cases}20x + 30y = 2920, \\ x - y = 11, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 65, \\ y = 54. \end{cases}$ $\therefore$ 甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元.
(2) 设再次购进甲种头盔$m$个，总费用是$w$元. $\therefore w = 65\times0.8m+(54 - 6)(40 - m)=4m + 1920$. $\because 4＞0$，$\therefore w$随$m$的增大而增大. 根据题意，得$m\geqslant\frac{1}{2}(40 - m)$，解得$m\geqslant\frac{40}{3}$. 又$\because m$为整数，$\therefore$ 当$m = 14$时，$w$取得最小值，为$4\times14 + 1920 = 1976$. $\therefore$ 当购进14个甲种头盔时，此次购进头盔的总费用最少，最少总费用是1976元.
(2) 设再次购进甲种头盔$m$个，总费用是$w$元. $\therefore w = 65\times0.8m+(54 - 6)(40 - m)=4m + 1920$. $\because 4＞0$，$\therefore w$随$m$的增大而增大. 根据题意，得$m\geqslant\frac{1}{2}(40 - m)$，解得$m\geqslant\frac{40}{3}$. 又$\because m$为整数，$\therefore$ 当$m = 14$时，$w$取得最小值，为$4\times14 + 1920 = 1976$. $\therefore$ 当购进14个甲种头盔时，此次购进头盔的总费用最少，最少总费用是1976元.
4. (2024·盐城三模)小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车的剩余电量与出发时恰好相同. 在景点游玩一段时间后，按原路返回到家. 小丽往返均以同一速度行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时6.5 h，汽车的剩余电量Q(kW·h)与时间t(h)之间的函数关系如图所示.
(1) 该电动汽车每小时的充电量为_______kW·h，小丽在景区游玩了_______h；
(2) 求a的值；
(3) 求线段CD对应的函数表达式.
(1) 该电动汽车每小时的充电量为_______kW·h，小丽在景区游玩了_______h；
(2) 求a的值；
(3) 求线段CD对应的函数表达式.
答案
(1) 100 1
(2) $\because$ 到达景点时汽车的剩余电量与出发时恰好相同，$\therefore \frac{a - 50}{1}=\frac{100 - a}{3 - 1.5}$，解得$a = 70$. $\therefore a$的值为70.
(3) 易知$C(4,70)$. $\because 70-\frac{70 - 50}{1}\times(6.5 - 4)=20(\text{kW}\cdot\text{h})$，$\therefore D(6.5,20)$. 设线段$CD$对应的函数表达式为$Q = kt + b$. 把$(4,70)$，$(6.5,20)$代入，得$\begin{cases}70 = 4k + b, \\ 20 = 6.5k + b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = - 20, \\ b = 150. \end{cases}$ $\therefore$ 线段$CD$对应的函数表达式为$Q=-20t + 150(4\leqslant t\leqslant6.5)$.
(2) $\because$ 到达景点时汽车的剩余电量与出发时恰好相同，$\therefore \frac{a - 50}{1}=\frac{100 - a}{3 - 1.5}$，解得$a = 70$. $\therefore a$的值为70.
(3) 易知$C(4,70)$. $\because 70-\frac{70 - 50}{1}\times(6.5 - 4)=20(\text{kW}\cdot\text{h})$，$\therefore D(6.5,20)$. 设线段$CD$对应的函数表达式为$Q = kt + b$. 把$(4,70)$，$(6.5,20)$代入，得$\begin{cases}70 = 4k + b, \\ 20 = 6.5k + b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = - 20, \\ b = 150. \end{cases}$ $\therefore$ 线段$CD$对应的函数表达式为$Q=-20t + 150(4\leqslant t\leqslant6.5)$.
