典例5 如图,在等边三角形$ABC$中，$AB = 6$，$P$为$AB$上一动点，$PD\perp BC$于点$D$，$PE\perp AC$于点$E$，求$DE$长的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　

典例5如图，连接PC，取PC的中点O，连接OD，OE，过点O作OH⊥DE于点H.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=BC=AC=6.∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠CDP=∠CEP=90°.∴C，D，P，E四点共圆，且PC为直径，圆心为点O.∴∠DOE=2∠DCE=120°.∵OD=OE，OH⊥DE，∴DH=EH，∠ODE=∠OED=30°.∴易得EH=DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE.∴DE=$\sqrt{3}$OE.∴当OE的长最小，即PC的长最小时，DE的长最小.根据垂线段最短可知，当PC⊥AB时，PC的长最小，易得此时PC=3$\sqrt{3}$，则OE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.∴DE=$\sqrt{3}$OE=$\frac{9}{2}$.∴DE长的最小值为$\frac{9}{2}$.

典例6 (2023·菏泽)如图,在四边形$ABCD$中，$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$，$AB = 5$，$AD = 4$，$AD ＜ BC$，点$E$在线段$BC$上运动，点$F$在线段$AE$上运动，使$\angle ADF = \angle BAE$，则线段$BF$长的最小值为__________.
　　　　　　

典例6如图，设AD的中点为O，以点O为圆心，AD长为直径画圆，连接OB交⊙O于点F'.∵∠ABC=∠BAD=90°，∴∠DAE+∠BAE=90°.∵∠ADF=∠BAE，∴∠DAE+∠ADF=90°.∴∠AFD=90°.∴点F在以AD为直径的下半圆上运动.易知当点F运动到点F'的位置上时，线段BF的长有最小值.∵AD=4，∴OA=OF'=$\frac{1}{2}$AD=2.又∵AB=5，∴OB=$\sqrt{AB^{2}+OA^{2}}$=$\sqrt{29}$.∴BF'=OB - OF'=$\sqrt{29}$-2.∴线段BF长的最小值为$\sqrt{29}$-2.

典例7 如图,在$\triangle ABC$中，$AC = 3$，$BC = 4\sqrt{2}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$，$D$为$\triangle ABC$内一动点，$\odot O$为$\triangle ACD$的外接圆，交直线$BD$于点$P$，交$BC$于点$E$.若$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CP}$，求$AD$长的最小值.
　　　　　　　　　　　

典例7∵⌢AE=⌢CP，∴∠ACB=∠CDP=45°.∴∠BDC=135°.∴点D在以BC为弦，∠BDC为圆周角的圆弧上运动.如图，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为O'.取优弧BC上一点N，连接O'B，O'C，O'D，O'A，BN，CN.∵∠BDC=135°，∴∠BNC=180° - ∠BDC=45°.∴∠BO'C=2∠BNC=90°.∵O'B=O'C，∴△BO'C为等腰直角三角形.∴∠O'CB=45°，O'C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4=O'D.∴∠O'CA=∠ACB+∠O'CB=90°.∴O'A=$\sqrt{AC^{2}+O'C^{2}}$=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5.易得当A，D，O'三点共线时，AD的长有最小值，此时AD=O'A - O'D=1，∴AD长的最小值为1.