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2.一个长方体水箱从里面量长40 cm,宽25 cm,高20 cm。将一块石头放入水箱,然后将水箱注满水(如图1)。把水箱里的石头取出后,水面下降4 cm(如图2),求这块石头的体积(石头不吸水)。
答案
$40 × 25 × 4 = 4000(\mathrm{cm}^3)$,这块石头的体积是4000 $\mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
这道题是用排水法求不规则物体的体积，首先我们要明确：不吸水的物体完全浸没在水中时，它排开的水的体积等于自身的体积。把石头取出后水面下降，下降部分的水的体积刚好等于石头的体积，下降的这部分水是和水箱内部长、宽相同，高为4cm的长方体，我们只需用长方体体积公式计算出这部分水的体积，就能得到石头的体积。
【解析】
解：因为石头完全浸没在水中且不吸水，所以石头的体积等于取出石头后水面下降部分的水的体积。
下降部分的水为长40cm、宽25cm、高4cm的长方体，根据长方体体积=长×宽×高计算：
$40 × 25 × 4$
$=1000 × 4$
$=4000(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
这块石头的体积是$4000\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
排水法求体积，长方体体积计算
【点评】
这道题是不规则物体体积计算的典型题型，解题核心是明确“不规则物体体积=下降的水的体积”的等量关系，再结合长方体体积公式计算即可，掌握核心等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这道题是用排水法求不规则物体的体积，首先我们要明确：不吸水的物体完全浸没在水中时，它排开的水的体积等于自身的体积。把石头取出后水面下降，下降部分的水的体积刚好等于石头的体积，下降的这部分水是和水箱内部长、宽相同，高为4cm的长方体，我们只需用长方体体积公式计算出这部分水的体积，就能得到石头的体积。
【解析】
解：因为石头完全浸没在水中且不吸水，所以石头的体积等于取出石头后水面下降部分的水的体积。
下降部分的水为长40cm、宽25cm、高4cm的长方体，根据长方体体积=长×宽×高计算：
$40 × 25 × 4$
$=1000 × 4$
$=4000(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
这块石头的体积是$4000\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
排水法求体积，长方体体积计算
【点评】
这道题是不规则物体体积计算的典型题型，解题核心是明确“不规则物体体积=下降的水的体积”的等量关系，再结合长方体体积公式计算即可，掌握核心等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.如图所示,一个长方体木块,从它的下部和上部分别截去高为3 cm和2 cm的长方体后,便成为一个正方体,表面积减少了120 cm²,原来长方体的体积是多少?
答案
原长方体的底面是一个正方形,其棱长为$120 ÷ 4 ÷ (2 + 3) = 6(\mathrm{cm})$。原长方体的高为$6 + 3 + 2 = 11(\mathrm{cm})$,则原长方体的体积为$6 × 6 × 11 = 396(\mathrm{cm}^3)$。
解析
【分析】
解题时首先根据“截去两个长方体后成为正方体”，得出原长方体的长和宽相等，底面是正方形，且正方形的边长就是得到的正方体的棱长。其次明确表面积减少的120cm²，是截去的高为2cm和3cm的两个长方体的侧面积总和，因为截去部分的上下底面面积会和新露出的面抵消，实际减少的只有四周4个完全相同的长方形侧面的面积。接下来先算出1个侧面减少的面积，再结合截去的总高度，就能求出底面正方形的边长，最后算出原长方体的高，代入体积公式即可求解。
【解析】
1. 计算原长方体底面正方形的边长
截去部分的总高度：$2+3=5(\mathrm{cm})$
每个侧面减少的面积：$120÷4=30(\mathrm{cm}^2)$
底面正方形的棱长：$30÷5=6(\mathrm{cm})$，即原长方体的长和宽均为6cm。
2. 计算原长方体的高
原长方体的高为正方体棱长加上上下截去的高度：$6+3+2=11(\mathrm{cm})$
3. 计算原长方体的体积
根据长方体体积公式$V=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$：
$6×6×11=396(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boxed{396\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
长方体侧面积计算；长方体体积计算；立体图形切割
【点评】
本题的解题核心是准确判断表面积减少的部分仅为截去部分的侧面积，结合截后得到正方体的特征推出原长方体底面为正方形，理清各部分边长的对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据“截去两个长方体后成为正方体”，得出原长方体的长和宽相等，底面是正方形，且正方形的边长就是得到的正方体的棱长。其次明确表面积减少的120cm²，是截去的高为2cm和3cm的两个长方体的侧面积总和，因为截去部分的上下底面面积会和新露出的面抵消，实际减少的只有四周4个完全相同的长方形侧面的面积。接下来先算出1个侧面减少的面积，再结合截去的总高度，就能求出底面正方形的边长，最后算出原长方体的高，代入体积公式即可求解。
【解析】
1. 计算原长方体底面正方形的边长
截去部分的总高度：$2+3=5(\mathrm{cm})$
每个侧面减少的面积：$120÷4=30(\mathrm{cm}^2)$
底面正方形的棱长：$30÷5=6(\mathrm{cm})$，即原长方体的长和宽均为6cm。
2. 计算原长方体的高
原长方体的高为正方体棱长加上上下截去的高度：$6+3+2=11(\mathrm{cm})$
3. 计算原长方体的体积
根据长方体体积公式$V=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$：
$6×6×11=396(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boxed{396\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
长方体侧面积计算；长方体体积计算；立体图形切割
【点评】
本题的解题核心是准确判断表面积减少的部分仅为截去部分的侧面积，结合截后得到正方体的特征推出原长方体底面为正方形，理清各部分边长的对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.6
4.有趣的测量。
为了测量一块不规则石头的体积，笑笑设计了一份测量方案，包含以下4个步骤：
①往容器里倒入适量的水，测得水深为3.2 cm。
②准备一个长8 cm、宽4 cm、高7 cm的长方体玻璃容器。
③测得水面离容器口的距离是2.8 cm。
④将不规则石头轻轻放入容器中，并让石头完全没入水中（石头不吸水）。
（1）把实验步骤按正确的顺序排一排。（填序号）
（
（2）根据实验数据算一算：这块石头的体积是多少？
为了测量一块不规则石头的体积，笑笑设计了一份测量方案，包含以下4个步骤：
①往容器里倒入适量的水，测得水深为3.2 cm。
②准备一个长8 cm、宽4 cm、高7 cm的长方体玻璃容器。
③测得水面离容器口的距离是2.8 cm。
④将不规则石头轻轻放入容器中，并让石头完全没入水中（石头不吸水）。
（1）把实验步骤按正确的顺序排一排。（填序号）
（
②
）→（①
）→（④
）→（③
）（2）根据实验数据算一算：这块石头的体积是多少？
答案
(1)② ① ④ ③
(2)$7 - 2.8 = 4.2(\mathrm{cm})$,$8 × 4 × (4.2 - 3.2) = 32(\mathrm{cm}^3)$,这块石头的体积是32 $\mathrm{cm}^3$。
(2)$7 - 2.8 = 4.2(\mathrm{cm})$,$8 × 4 × (4.2 - 3.2) = 32(\mathrm{cm}^3)$,这块石头的体积是32 $\mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
（1）实验步骤排序需遵循常规实验操作逻辑：首先准备实验器材，之后加入初始水并测量初始水深，再放入待测物体，最后测量放入物体后的水面相关数据，按照这个逻辑就能得出正确顺序。（2）计算石头体积用到排水法原理：完全浸没在水中的不规则物体的体积等于它排开的水的体积，也就是水面上升部分的水的体积。我们先算出放入石头后水的深度，再求出水面上升的高度，最后用长方体体积公式计算上升部分水的体积，即可得到石头的体积。
【解析】
（1）做实验首先要准备容器，对应步骤②；接下来往容器中倒水，测得初始水深，对应步骤①；之后将石头完全浸没入水中，对应步骤④；最后测量放入石头后水面离容器口的距离，对应步骤③。因此正确顺序为②→①→④→③。
（2）第一步：计算放入石头后的水深，容器总高7cm，水面离容器口2.8cm，可得水深：$7 - 2.8 = 4.2(\mathrm{cm})$
第二步：计算水面上升的高度，用放入石头后的水深减去初始水深：$4.2 - 3.2 = 1(\mathrm{cm})$
第三步：上升部分水的体积就是石头的体积，根据长方体体积公式长×宽×高，可得：$8 × 4 × 1 = 32(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1)②；①；④；③
(2)这块石头的体积是32 $\mathrm{cm}^3$
【知识点】
排水法测不规则物体体积；长方体体积计算
【点评】
本题结合实验操作场景考查不规则物体体积的测量方法，既需要理清实验操作的先后逻辑，又要熟练运用长方体体积公式解决实际问题，能有效锻炼实践应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）实验步骤排序需遵循常规实验操作逻辑：首先准备实验器材，之后加入初始水并测量初始水深，再放入待测物体，最后测量放入物体后的水面相关数据，按照这个逻辑就能得出正确顺序。（2）计算石头体积用到排水法原理：完全浸没在水中的不规则物体的体积等于它排开的水的体积，也就是水面上升部分的水的体积。我们先算出放入石头后水的深度，再求出水面上升的高度，最后用长方体体积公式计算上升部分水的体积，即可得到石头的体积。
【解析】
（1）做实验首先要准备容器，对应步骤②；接下来往容器中倒水，测得初始水深，对应步骤①；之后将石头完全浸没入水中，对应步骤④；最后测量放入石头后水面离容器口的距离，对应步骤③。因此正确顺序为②→①→④→③。
（2）第一步：计算放入石头后的水深，容器总高7cm，水面离容器口2.8cm，可得水深：$7 - 2.8 = 4.2(\mathrm{cm})$
第二步：计算水面上升的高度，用放入石头后的水深减去初始水深：$4.2 - 3.2 = 1(\mathrm{cm})$
第三步：上升部分水的体积就是石头的体积，根据长方体体积公式长×宽×高，可得：$8 × 4 × 1 = 32(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1)②；①；④；③
(2)这块石头的体积是32 $\mathrm{cm}^3$
【知识点】
排水法测不规则物体体积；长方体体积计算
【点评】
本题结合实验操作场景考查不规则物体体积的测量方法，既需要理清实验操作的先后逻辑，又要熟练运用长方体体积公式解决实际问题，能有效锻炼实践应用能力。
【难度系数】
0.8
