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5.一间教室长12 m、宽8 m、高3.5 m，现要用乳胶漆粉刷这间教室的四面墙壁和顶部(门窗和黑板的面积共15.5 m²)，如果每平方米需要0.2 kg乳胶漆，那么共需要多少乳胶漆？
答案
$12 × 8 + 12 × 3.5 × 2 + 8 × 3.5 × 2 = 236(\mathrm{m}^2)$,$(236 - 15.5) × 0.2 = 44.1(\mathrm{kg})$,共需要44.1 kg乳胶漆。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先算出实际需要粉刷的面积，再计算乳胶漆的总重量。首先把教室看作长方体，粉刷时不需要刷地面，所以只需要计算顶部加四面墙壁的总面积，再减去门窗、黑板不需要粉刷的面积，得到实际粉刷面积后，乘每平方米需要的乳胶漆重量，就能得出最终结果。
【解析】
第一步：计算顶面和四面墙壁的总面积（未扣除门窗黑板）
顶部面积：$12 × 8 = 96(\mathrm{m}^2)$
前后两面长墙面积：$12 × 3.5 × 2 = 84(\mathrm{m}^2)$
左右两面宽墙面积：$8 × 3.5 × 2 = 56(\mathrm{m}^2)$
总面积：$96 + 84 + 56 = 236(\mathrm{m}^2)$
第二步：扣除不需要粉刷的面积，得到实际粉刷面积
$236 - 15.5 = 220.5(\mathrm{m}^2)$
第三步：计算所需乳胶漆总重量
$220.5 × 0.2 = 44.1(\mathrm{kg})$
【答案】
共需要44.1 kg乳胶漆。
【知识点】
长方体表面积计算、面积实际应用、小数乘法运算
【点评】
这道题结合生活实际场景出题，解题核心是准确判断需要计算的长方体面的范围，避免多算地面面积，同时不要遗漏扣除不需要粉刷的区域，能很好地考查学生把数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先算出实际需要粉刷的面积，再计算乳胶漆的总重量。首先把教室看作长方体，粉刷时不需要刷地面，所以只需要计算顶部加四面墙壁的总面积，再减去门窗、黑板不需要粉刷的面积，得到实际粉刷面积后，乘每平方米需要的乳胶漆重量，就能得出最终结果。
【解析】
第一步：计算顶面和四面墙壁的总面积（未扣除门窗黑板）
顶部面积：$12 × 8 = 96(\mathrm{m}^2)$
前后两面长墙面积：$12 × 3.5 × 2 = 84(\mathrm{m}^2)$
左右两面宽墙面积：$8 × 3.5 × 2 = 56(\mathrm{m}^2)$
总面积：$96 + 84 + 56 = 236(\mathrm{m}^2)$
第二步：扣除不需要粉刷的面积，得到实际粉刷面积
$236 - 15.5 = 220.5(\mathrm{m}^2)$
第三步：计算所需乳胶漆总重量
$220.5 × 0.2 = 44.1(\mathrm{kg})$
【答案】
共需要44.1 kg乳胶漆。
【知识点】
长方体表面积计算、面积实际应用、小数乘法运算
【点评】
这道题结合生活实际场景出题，解题核心是准确判断需要计算的长方体面的范围，避免多算地面面积，同时不要遗漏扣除不需要粉刷的区域，能很好地考查学生把数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
6.有一个长方体木块,长为10 dm,宽为8 dm,高为6 dm,现将它加工成一个最大的正方体,要削去多少木料？
答案
$10 × 8 × 6 - 6 × 6 × 6 = 264(\mathrm{dm}^3)$,削去264 $\mathrm{dm}^3$木料。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：将长方体加工成最大的正方体时，正方体的棱长最大只能等于长方体长宽高中的最小值，若棱长超过这个最小值，长方体没有足够的边长支撑做出对应正方体。接下来我们只需要分别计算原长方体的体积、最大正方体的体积，用长方体体积减去正方体体积，就能得到削去的木料体积。
【解析】
1. 计算原长方体木块的体积：
长方体体积公式为$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，代入数据得：
$10×8×6=480(\mathrm{dm}^3)$
2. 确定最大正方体的棱长并计算其体积：
长方体的长宽高分别为10dm、8dm、6dm，最短边为6dm，因此最大正方体的棱长为6dm。
正方体体积公式为$\mathrm{体积}=\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}$，代入数据得：
$6×6×6=216(\mathrm{dm}^3)$
3. 计算削去的木料体积：
削去的体积=长方体体积-正方体体积，即：
$480-216=264(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
削去264 $\mathrm{dm}^3$木料。
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算、立体图形切拼
【点评】
本题解题的关键是准确判断最大正方体的棱长等于长方体长宽高中的最短边，再结合对应体积公式计算即可，侧重考察立体图形体积公式的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确：将长方体加工成最大的正方体时，正方体的棱长最大只能等于长方体长宽高中的最小值，若棱长超过这个最小值，长方体没有足够的边长支撑做出对应正方体。接下来我们只需要分别计算原长方体的体积、最大正方体的体积，用长方体体积减去正方体体积，就能得到削去的木料体积。
【解析】
1. 计算原长方体木块的体积：
长方体体积公式为$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，代入数据得：
$10×8×6=480(\mathrm{dm}^3)$
2. 确定最大正方体的棱长并计算其体积：
长方体的长宽高分别为10dm、8dm、6dm，最短边为6dm，因此最大正方体的棱长为6dm。
正方体体积公式为$\mathrm{体积}=\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}$，代入数据得：
$6×6×6=216(\mathrm{dm}^3)$
3. 计算削去的木料体积：
削去的体积=长方体体积-正方体体积，即：
$480-216=264(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
削去264 $\mathrm{dm}^3$木料。
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算、立体图形切拼
【点评】
本题解题的关键是准确判断最大正方体的棱长等于长方体长宽高中的最短边，再结合对应体积公式计算即可，侧重考察立体图形体积公式的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
7.若某航空公司规定旅客搭乘飞机时托运的行李质量一般不超过 50 kg,尺寸限制如图所示。李叔叔的行李是体积为$0.2\ \mathrm{m}^3$的长方体包装箱,底面的长是 50 cm,宽是 40 cm,质量是 30 kg。李叔叔的包装箱符合航空公司行李托运的要求吗?请说明理由。
机场托运行李的一般规格
机场托运行李的一般规格
答案
50 cm = 0.5 m,40 cm = 0.4 m,$0.2 ÷ (0.5 × 0.4) = 1$ m
1 m = 100 cm,50 cm ＜ 60 cm,40 cm = 40 cm,100 cm = 100 cm,
30 kg ＜ 50 kg,所以这个包装箱符合航空公司行李托运的要求。
1 m = 100 cm,50 cm ＜ 60 cm,40 cm = 40 cm,100 cm = 100 cm,
30 kg ＜ 50 kg,所以这个包装箱符合航空公司行李托运的要求。
解析
【分析】
要判断包装箱是否符合托运要求，需要同时核对质量和尺寸两项限制要求。质量可直接和规定上限比较；尺寸方面，已知包装箱是长方体，已知体积、底面长和宽，我们可以根据长方体体积公式推导出高的计算方法：高=体积÷（长×宽），算出高之后，再把长、宽、高分别和规定的尺寸上限对比，两项都满足限制要求就符合托运规定，计算时注意要先统一单位。
【解析】
1. 统一单位，计算包装箱的高：
先把长度单位换算成米，$50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m}$，$40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$
根据长方体体积公式可得高为：
$0.2÷(0.5×0.4)=0.2÷0.2=1\ \mathrm{m}$，换算成厘米就是$1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$
2. 对比尺寸要求：
规定托运尺寸上限为长60cm、宽40cm、高100cm，包装箱的长50cm＜60cm，宽40cm=40cm，高100cm=100cm，尺寸符合要求。
3. 对比质量要求：
规定托运质量不超过50kg，包装箱质量30kg＜50kg，质量也符合要求。
【答案】
李叔叔的包装箱符合航空公司行李托运的要求。
【知识点】
长方体体积计算，长度单位换算，数的大小比较
【点评】
本题结合生活中托运行李的实际场景出题，考查长方体体积公式的灵活运用，解题时需注意要同时核对质量、尺寸两项要求，统一单位后逐项对比即可，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.8
要判断包装箱是否符合托运要求，需要同时核对质量和尺寸两项限制要求。质量可直接和规定上限比较；尺寸方面，已知包装箱是长方体，已知体积、底面长和宽，我们可以根据长方体体积公式推导出高的计算方法：高=体积÷（长×宽），算出高之后，再把长、宽、高分别和规定的尺寸上限对比，两项都满足限制要求就符合托运规定，计算时注意要先统一单位。
【解析】
1. 统一单位，计算包装箱的高：
先把长度单位换算成米，$50\ \mathrm{cm}=0.5\ \mathrm{m}$，$40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$
根据长方体体积公式可得高为：
$0.2÷(0.5×0.4)=0.2÷0.2=1\ \mathrm{m}$，换算成厘米就是$1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$
2. 对比尺寸要求：
规定托运尺寸上限为长60cm、宽40cm、高100cm，包装箱的长50cm＜60cm，宽40cm=40cm，高100cm=100cm，尺寸符合要求。
3. 对比质量要求：
规定托运质量不超过50kg，包装箱质量30kg＜50kg，质量也符合要求。
【答案】
李叔叔的包装箱符合航空公司行李托运的要求。
【知识点】
长方体体积计算，长度单位换算，数的大小比较
【点评】
本题结合生活中托运行李的实际场景出题，考查长方体体积公式的灵活运用，解题时需注意要同时核对质量、尺寸两项要求，统一单位后逐项对比即可，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.8
8.星期日,小明和小雨到小红家做客,小红拿出一瓶646 mL的矿泉水,分别倒入下边两个不同的杯子中(单位:cm)。
答案
646 mL = 646 $\mathrm{cm}^3$
$646 ÷ (8 × 5 + 6 × 6) = 8.5(\mathrm{cm})$
$8 × 5 × 8.5 = 340(\mathrm{cm}^3)$,$340\ \mathrm{cm}^3 = 340\ \mathrm{mL}$,这个高度是8.5 cm,这时,小雨杯子中有340 mL矿泉水。
$646 ÷ (8 × 5 + 6 × 6) = 8.5(\mathrm{cm})$
$8 × 5 × 8.5 = 340(\mathrm{cm}^3)$,$340\ \mathrm{cm}^3 = 340\ \mathrm{mL}$,这个高度是8.5 cm,这时,小雨杯子中有340 mL矿泉水。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先统一单位，容积单位mL和体积单位$\mathrm{cm}^3$的换算关系为$1\mathrm{mL}=1\mathrm{cm}^3$，先把总矿泉水体积换算为立方厘米。2. 长方体容器内液体体积=容器底面积×液体高度，已知两个杯子内水的高度相等，因此总水体积=（小雨杯子底面积+小明杯子底面积）×水的高度，反过来水的高度就等于总水体积除以两个杯子的底面积之和。3. 算出高度后，用小雨杯子的底面积乘水的高度，就能得到小雨杯子内水的体积，再换算回毫升即可。
【解析】
首先进行单位换算：
$646\ \mathrm{mL}=646\ \mathrm{cm}^3$
分别计算两个杯子的底面积：
小雨杯子底面积：$8×5=40(\mathrm{cm}^2)$
小明杯子底面积：$6×6=36(\mathrm{cm}^2)$
两个杯子底面积之和：$40+36=76(\mathrm{cm}^2)$
根据总水体积和底面积的关系，计算水的高度：
$646 ÷ 76 = 8.5(\mathrm{cm})$
再计算小雨杯子中水的体积：
$40 × 8.5 = 340(\mathrm{cm}^3)$
换算单位得：$340\ \mathrm{cm}^3 = 340\ \mathrm{mL}$
【答案】
这个高度是8.5 cm，这时小雨的杯子中有340 mL矿泉水。
【知识点】
长方体体积计算
容积单位换算
乘除法应用
【点评】
本题结合生活场景考查长方体容积公式的灵活运用，解题核心是抓住“两个杯子中水的高度相等”的条件，将两个底面积合并为整体计算高度，能锻炼学生的整体思维和计算细心度，解题时要注意先统一单位再运算。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先统一单位，容积单位mL和体积单位$\mathrm{cm}^3$的换算关系为$1\mathrm{mL}=1\mathrm{cm}^3$，先把总矿泉水体积换算为立方厘米。2. 长方体容器内液体体积=容器底面积×液体高度，已知两个杯子内水的高度相等，因此总水体积=（小雨杯子底面积+小明杯子底面积）×水的高度，反过来水的高度就等于总水体积除以两个杯子的底面积之和。3. 算出高度后，用小雨杯子的底面积乘水的高度，就能得到小雨杯子内水的体积，再换算回毫升即可。
【解析】
首先进行单位换算：
$646\ \mathrm{mL}=646\ \mathrm{cm}^3$
分别计算两个杯子的底面积：
小雨杯子底面积：$8×5=40(\mathrm{cm}^2)$
小明杯子底面积：$6×6=36(\mathrm{cm}^2)$
两个杯子底面积之和：$40+36=76(\mathrm{cm}^2)$
根据总水体积和底面积的关系，计算水的高度：
$646 ÷ 76 = 8.5(\mathrm{cm})$
再计算小雨杯子中水的体积：
$40 × 8.5 = 340(\mathrm{cm}^3)$
换算单位得：$340\ \mathrm{cm}^3 = 340\ \mathrm{mL}$
【答案】
这个高度是8.5 cm，这时小雨的杯子中有340 mL矿泉水。
【知识点】
长方体体积计算
容积单位换算
乘除法应用
【点评】
本题结合生活场景考查长方体容积公式的灵活运用，解题核心是抓住“两个杯子中水的高度相等”的条件，将两个底面积合并为整体计算高度，能锻炼学生的整体思维和计算细心度，解题时要注意先统一单位再运算。
【难度系数】
0.7
