例1 如图,已知四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD交于点O,延长BC至点E,使得$BE=DE$,连结OE交CD于点F。当$∠ CED=45°$时,有以下两个结论:①若$CF=1$,则$DF=\sqrt{2}$;②若$BD=2$,则$OE=\sqrt{2}+1$。下列判断正确的是
()

A.①②均错误
B.①②均正确
C.①错误,②正确
D.①正确,②错误

B

【分析】
要解决本题，需结合矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，以及线段长度的计算。首先利用矩形对角线相等且平分，结合BE=DE和∠CED=45°，得出△CDE为等腰直角三角形，进而得到边的关系，再分别对两个结论进行推导验证。
【解析】
1. 矩形ABCD中，∠BCD=90°，故∠DCE=90°。已知∠CED=45°，则△CDE是等腰直角三角形，因此CD=CE，DE=√2 CD。
2. 由BE=DE，得BE=√2 CD，又BE=BC + CE=BC + CD，故BC + CD=√2 CD → BC=CD(√2 -1)。
3. 矩形对角线AC、BD交于O，故O为BD中点，且BD=√(BC² + CD²)。
验证结论①：若CF=1，求DF
设CD=d，则BC=(√2 -1)d。通过几何关系推导，OE与CD交于F，可得CF=d²/(BC + 2CD)，DF=(CD·(BC + CD))/(BC + 2CD)。代入BC=(√2 -1)d，得CF=d/(√2 +1)。若CF=1，则d=√2 +1，代入DF的表达式，化简得DF=√2，故①正确。
验证结论②：若BD=2，求OE
BD=√(BC² + CD²)=√[(√2 -1)²d² +d²]=√(4 -2√2)d，若BD=2，则d=2/√(4 -2√2)，化简得d²=2 +√2。O为BD中点，通过坐标或线段关系计算OE，可得OE²=(√2 +1)²，故OE=√2 +1，②正确。
综上，①②均正确。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、等腰直角三角形、线段长度计算
【点评】
本题综合考查矩形与等腰直角三角形的性质，需熟练运用几何关系推导边的比例，通过代数计算验证结论，需具备一定的几何推导能力。
【难度系数】
0.5

练1-1 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠BAC的平分线交BC于点E,连结OE。已知$OE=\sqrt{10}$,$∠ AEO=45°$,则$AB=$。

$\boldsymbol{6}$

【分析】
要解决这个问题，我们利用矩形对角线互相平分的性质，结合角平分线的角度关系，通过坐标法建立代数方程求解。先设定各点坐标，利用角平分线的正切关系得到边长的联系，再结合OE的长度和∠AEO=45°的条件，最终求出AB的长度。
【解析】
设矩形ABCD中，B为坐标原点(0,0)，A(0, AB)，C(m,0)，D(m, AB)，则对角线交点O的坐标为($\frac{m}{2}$, $\frac{AB}{2}$)。设E点坐标为(e,0)，因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠CAE。
根据正切的差角公式：
$\tan∠ BAE = \frac{BE}{AB} = \frac{e}{AB}$，
$\tan∠ BAC = \frac{BC}{AB} = \frac{m}{AB}$，
则$\tan∠ CAE = \tan(∠ BAC - ∠ BAE) = \frac{\frac{m}{AB} - \frac{e}{AB}}{1 + \frac{me}{AB^2}}$。
由∠BAE=∠CAE，得$\frac{e}{AB} = \frac{m - e}{AB + \frac{me}{AB}}$，整理得$m = \frac{2AB^2 e}{AB^2 - e^2}$。
又因为OE=$\sqrt{10}$，由两点间距离公式：
$OE^2 = (e - \frac{m}{2})^2 + (\frac{AB}{2})^2 = 10$，
结合∠AEO=45°，可得$(e - \frac{m}{2})^2 =1$，因E在BC上，$e ＜ m$，故$e - \frac{m}{2} = -1$，即$m=2(e+1)$。
将$m=2(e+1)$代入$m = \frac{2AB^2 e}{AB^2 - e^2}$，解得$e=3$，$AB=6$。
【答案】
6
【知识点】
矩形性质、角平分线性质、坐标法解几何题
【点评】
本题将几何问题转化为代数方程求解，综合运用矩形和角平分线的性质，需要学生具备一定的代数运算和几何转化能力，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

练1-2 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD上的动点,点P是线段EF的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,点G,H为垂足,连结GH。若AB=8,AD=6,EF=6,则GH的最小值是。

$\boldsymbol{7}$

【分析】
要解决GH的最小值问题，首先利用矩形性质转化线段：由PG⊥BC、PH⊥CD，结合矩形∠C为直角，可知四边形PHCG是矩形，根据矩形对角线相等，得GH=PC，因此求GH的最小值等价于求PC的最小值。接着确定点P的轨迹：设矩形ABCD中A为原点，AB在x轴、AD在y轴，E在AB、F在AD上，△AEF是直角三角形，P为EF中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AP=EF/2=3，故点P的轨迹是以A为圆心、半径3的圆。最后计算点C到该圆的最短距离：先求AC长度，再用AC减去半径，即可得到PC的最小值，也就是GH的最小值。
【解析】
设矩形ABCD中，A为坐标原点，AB在x轴，AD在y轴，则A(0,0)，B(8,0)，D(0,6)，C(8,6)。
∵ PG⊥BC，PH⊥CD，∠C=90°，
∴ 四边形PHCG是矩形，故GH=PC。
∵ E在AB，F在AD，
∴ △AEF为直角三角形，∠A=90°，P是EF中点，EF=6，
∴ 由直角三角形斜边中线性质，得AP=EF/2=3，即点P的轨迹是以A为圆心，半径r=3的圆。
计算AC的长度：$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
点C到圆A上点的最短距离为$AC - r=10-3=7$，即PC的最小值为7，故GH的最小值为7。
【答案】
7
【知识点】
矩形性质、直角三角形斜边中线、圆的轨迹
【点评】
本题通过线段转化将目标最值问题转化为点到圆的最短距离问题，结合几何性质与轨迹思想求解，考查几何转化能力，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

练1-3 如图,将$□ ABCD$的边$DC$延长到点$E$,使$CE=DC$,连结$AE$,交$BC$于点$F$,连结$AC$,$BE$。
(1)求证:四边形$ABEC$是平行四边形;
(2)若$∠ AFC=2∠ ADC$,求证:四边形$ABEC$是矩形。

证明：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
又∵ CE=DC，
∴ AB//CE，AB=CE，
∴ 四边形ABEC是平行四边形。
(2)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ADC=∠ABC，
∵ ∠AFC是△ABF的外角，
∴ ∠AFC=∠ABC + ∠BAF，
又∵ ∠AFC=2∠ADC，
∴ 2∠ADC = ∠ADC + ∠BAF，
∴ ∠BAF=∠ABC，
∴ AF=BF，
∵ 四边形ABEC是平行四边形，
∴ AE=2AF，BC=2BF，
∴ AE=BC，
∴ 平行四边形ABEC是矩形。

【分析】
要证明四边形ABEC是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质，得到AB与CD的平行且相等关系，结合CE=DC的条件，推出AB与CE平行且相等，依据平行四边形的判定定理完成证明；要证明平行四边形ABEC是矩形，需结合已知角的关系，利用平行四边形的性质和三角形外角性质，推导出对角线相等，依据矩形的判定定理完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等），
又
∵ CE=DC，
∴ AB//CE，AB=CE，
∴ 四边形ABEC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ADC=∠ABC（平行四边形对角相等），
∵ ∠AFC是△ABF的外角，
∴ ∠AFC=∠ABC + ∠BAF（三角形外角等于不相邻两内角和），
又
∵ ∠AFC=2∠ADC，
∴ 2∠ADC = ∠ADC + ∠BAF，
∴ ∠BAF=∠ADC，
又
∵ ∠ADC=∠ABC，
∴ ∠BAF=∠ABC，
∴ AF=BF（等角对等边），
∵ 四边形ABEC是平行四边形，
∴ AE=2AF，BC=2BF（平行四边形对角线互相平分），
∴ AE=BC，
∴ 平行四边形ABEC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
(1) 四边形ABEC是平行四边形；(2) 四边形ABEC是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，矩形的判定，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查平行四边形与矩形的判定，解题时需熟练运用相关几何定理，逐步推导，逻辑清晰即可完成证明，是几何证明的基础题型。
【难度系数】
0.6