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1. 如图,已知$∠ AOB$内部有三条射线,其中$OE$平分$∠ BOC$,$OF$平分$∠ AOC$.
(1)如图①,若$∠ AOB=120°$,$∠ AOC=30°$,求$∠ EOF$的度数;
(2)如图②,若$∠ AOB=α$,求$∠ EOF$的度数;(用含$α$的式子表示)
(3)若将题中“平分”的条件改为“$∠ EOB=\dfrac{1}{3}∠ BOC$,$∠ COF=\dfrac{2}{3}∠ AOC$,且$∠ AOB=α$”,求$∠ EOF$的度数.(用含$α$的式子表示)
(1)如图①,若$∠ AOB=120°$,$∠ AOC=30°$,求$∠ EOF$的度数;
(2)如图②,若$∠ AOB=α$,求$∠ EOF$的度数;(用含$α$的式子表示)
(3)若将题中“平分”的条件改为“$∠ EOB=\dfrac{1}{3}∠ BOC$,$∠ COF=\dfrac{2}{3}∠ AOC$,且$∠ AOB=α$”,求$∠ EOF$的度数.(用含$α$的式子表示)
答案
1. (1)$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 120° - 30° = 90°$,因为$OE$平分$∠ BOC$,$OF$平分$∠ AOC$,所以$∠ EOC=\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}×90°=45°$,$∠ COF=\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}×30°=15°$,所以$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=45°+15°=60°$.
(2)因为$OE$平分$∠ BOC$,$OF$平分$∠ AOC$,所以$∠ EOC=\dfrac{1}{2}∠ BOC$,$∠ COF=\dfrac{1}{2}∠ AOC$,所以$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=\dfrac{1}{2}∠ BOC+\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}(∠ BOC+∠ AOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB=\dfrac{1}{2}α$.
(3)因为$∠ EOB=\dfrac{1}{3}∠ BOC$,所以$∠ EOC=\dfrac{2}{3}∠ BOC$.又因为$∠ COF=\dfrac{2}{3}∠ AOC$,所以$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=\dfrac{2}{3}∠ BOC+\dfrac{2}{3}∠ AOC=\dfrac{2}{3}(∠ BOC+∠ AOC)=\dfrac{2}{3}∠ AOB=\dfrac{2}{3}α$.
(2)因为$OE$平分$∠ BOC$,$OF$平分$∠ AOC$,所以$∠ EOC=\dfrac{1}{2}∠ BOC$,$∠ COF=\dfrac{1}{2}∠ AOC$,所以$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=\dfrac{1}{2}∠ BOC+\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}(∠ BOC+∠ AOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB=\dfrac{1}{2}α$.
(3)因为$∠ EOB=\dfrac{1}{3}∠ BOC$,所以$∠ EOC=\dfrac{2}{3}∠ BOC$.又因为$∠ COF=\dfrac{2}{3}∠ AOC$,所以$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=\dfrac{2}{3}∠ BOC+\dfrac{2}{3}∠ AOC=\dfrac{2}{3}(∠ BOC+∠ AOC)=\dfrac{2}{3}∠ AOB=\dfrac{2}{3}α$.
2. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.
(1)如果∠AOC=70°,∠COE=50°,求∠BOD的度数；
(2)如果∠AOE=160°,求∠BOD的度数；
(3)如果OM平分∠AOE,∠COD:∠BOC=2:3,∠COM=15°,求∠BOD的度数.
(1)如果∠AOC=70°,∠COE=50°,求∠BOD的度数；
(2)如果∠AOE=160°,求∠BOD的度数；
(3)如果OM平分∠AOE,∠COD:∠BOC=2:3,∠COM=15°,求∠BOD的度数.
答案
2. (1)因为$OB$平分$∠ AOC$,$∠ AOC=70°$,所以$∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC=35°$.因为$OD$平分$∠ COE$,$∠ COE=50°$,所以$∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ COE=25°$,所以$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=35°+25°=60°$.
(2)因为$OB$平分$∠ AOC$,$OD$平分$∠ COE$,所以$∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ COE$,$∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC$,所以$∠ BOD=∠ COD+∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ COE+\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}(∠ COE+∠ AOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOE=80°$.
(3)因为$∠ COD:∠ BOC=2:3$,所以设$∠ COD=2x$,则$∠ BOC=3x$.因为$OB$平分$∠ AOC$,$OD$平分$∠ COE$,所以$∠ COE=2∠ COD=4x$,$∠ AOC=2∠ BOC=6x$,所以$∠ AOE=10x$.因为$OM$平分$∠ AOE$,所以$∠ EOM=\dfrac{1}{2}∠ AOE=5x$.因为$∠ EOM-∠ COE=∠ COM=15°$,所以$5x-4x=15°$,所以$x=15°$,所以$∠ BOD=∠ COD+∠ BOC=2x+3x=75°$.
(2)因为$OB$平分$∠ AOC$,$OD$平分$∠ COE$,所以$∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ COE$,$∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC$,所以$∠ BOD=∠ COD+∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ COE+\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}(∠ COE+∠ AOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOE=80°$.
(3)因为$∠ COD:∠ BOC=2:3$,所以设$∠ COD=2x$,则$∠ BOC=3x$.因为$OB$平分$∠ AOC$,$OD$平分$∠ COE$,所以$∠ COE=2∠ COD=4x$,$∠ AOC=2∠ BOC=6x$,所以$∠ AOE=10x$.因为$OM$平分$∠ AOE$,所以$∠ EOM=\dfrac{1}{2}∠ AOE=5x$.因为$∠ EOM-∠ COE=∠ COM=15°$,所以$5x-4x=15°$,所以$x=15°$,所以$∠ BOD=∠ COD+∠ BOC=2x+3x=75°$.
